مقدمة في حساب المثلثات والاقترانات المثلثية
تعتبر الاقترانات المثلثية من الدعائم الأساسية في علم المثلثات، وهو فرع من فروع الرياضيات يعنى بدراسة الزوايا وتطبيقاتها المختلفة في الحسابات. يوجد ستة اقترانات مثلثية رئيسية: الجيب (Sin)، وجيب التمام (Cos)، والظل (Tan)، وظل التمام (Cot)، والقاطع (Sec)، وقاطع التمام (Csc). هذه الاقترانات مشتقة من المثلث القائم الزاوية. تطور علم المثلثات نتيجة للحاجة الماسة لحساب الزوايا والمسافات في مجالات علمية متنوعة، مثل علم الفلك، ورسم الخرائط، والمساحة، وحتى في تحديد مدى المدفعية.
الصيغ الأولية للاقترانات المثلثية
تعتمد دراسة علم المثلثات على ستة اقترانات أساسية، وهي: الجيب، وجيب التمام، والقاطع، وقاطع التمام، والظل، وظل التمام. هذه الاقترانات تمثل نسبًا بين أضلاع المثلث القائم الزاوية، أي النسبة بين الضلع المقابل، والوتر، والقاعدة. يتم حساب قيمة كل اقتران مثلثي بناءً على أبعاد المثلث القائم الزاوية وفقًا للصيغ التالية:
- جيب الزاوية (sin θ): هو حاصل قسمة طول الضلع المقابل للزاوية على طول الوتر في المثلث القائم (sin θ = الضلع المقابل / الوتر).
- جيب التمام للزاوية (cos θ): هو حاصل قسمة طول الضلع المجاور للزاوية على طول الوتر في المثلث القائم (cos θ = الضلع المجاور / الوتر).
- ظل الزاوية (tan θ): هو حاصل قسمة طول الضلع المقابل للزاوية على طول الضلع المجاور لها (tan θ = الضلع المقابل / الضلع المجاور).
- قاطع الزاوية (sec θ): هو حاصل قسمة طول الوتر في المثلث القائم الزاوية على طول الضلع المجاور لها (sec θ = الوتر / الضلع المجاور).
- قاطع تمام الزاوية (cosec θ): هو حاصل قسمة طول الوتر في المثلث القائم الزاوية على طول الضلع المقابل لها (cosec θ = الوتر / الضلع المقابل).
- ظل تمام الزاوية (cot θ): هو حاصل قسمة طول الضلع المجاور للزاوية على طول الضلع المقابل لها (cot θ = الضلع المجاور / الضلع المقابل).
قيم الاقترانات المثلثية للزوايا الأساسية
تعتبر اقترانات الجيب، وجيب التمام، والظل هي الاقترانات الأساسية في علم المثلثات، والتي يمكن من خلالها اشتقاق الاقترانات الثلاثة الأخرى: ظل التمام، والقاطع، وقاطع التمام. غالبًا ما تستخدم الاقترانات المشتقة في عمليات المقارنة مع الاقترانات المثلثية الأولية. فيما يلي قيم الاقترانات المثلثية للزوايا الست الشهيرة (0°، 30°، 45°، 60°، 90°):
النسب المثلثية | 0 ° | 30 ° | 45 ° | 60 ° | 90 ° |
---|---|---|---|---|---|
جيب الزاوية (Sin θ) | 0 | 1/2 | 1/√2 | √3/2 | 1 |
جيب تمام الزاوية (Cos θ) | 1 | √3/2 | 1/√2 | 1/2 | 0 |
ظل الزاوية (Tan θ) | 0 | 1/√3 | 1 | √3 | ∞ |
قاطع تمام الزاوية (Cosec θ) | ∞ | 2 | √2 | 2/√3 | 1 |
قاطع الزاوية (Sec θ) | 1 | 2/√3 | √2 | 2 | ∞ |
ظل تمام الزاوية (Cot θ) | ∞ | √3 | 1 | 1/√3 | 0 |
النطاق والمدى للتمثيلات البيانية للاقترانات المثلثية
لإنشاء رسم بياني دقيق للاقترانات المثلثية، يجب تحديد قيم النطاق والمدى لكل اقتران. هذه القيم تمثل الإحداثيات التي سيتم رسمها على المستوى XY:
الدالة | تعريف الدالة | النطاق | المدى |
---|---|---|---|
اقتران جيب (Sine Function) | y = sin x | x ∈ R | -1 ≤ sin x ≤ 1 |
اقتران جيب التمام (Cosine Function) | y = cos x | x ∈ R | -1 ≤ cos x ≤ 1 |
اقتران الظل (Tangent Function) | y = tan x | x ∈ R , x≠(2k+1)π/2 | – ∞ < tan x < ∞ |
اقتران ظل التمام (Cotangent Function) | y = cot x | x ∈ R , x ≠ k π | – ∞ < cot x < ∞ |
اقتران القاطع (Secant Function) | y = sec x | x ∈ R , x ≠ ( 2 k + 1 ) π / 2 | sec x ∈ ( − ∞ , − 1 ] ∪ [ 1 , ∞ ) |
اقتران قاطع التمام (Cosecant Function) | y = csc x | x ∈ R , x ≠ k π | csc x ∈ ( − ∞ , − 1 ] ∪ [ 1 , ∞ ) |
الهويات المثلثية
فيما يلي أهم الهويات المتعلقة بدوال حساب المثلثات:
هويات الاقترانات الزوجية والفردية
تعتبر الدالتان جتا (cos) وقاطع الزاوية (sec) دالتين زوجيتين، في حين أن بقية الدوال المثلثية هي دوال فردية. أي أن قيمها تكون على الشكل التالي:
- sin(-x) = -sin x
- cos(-x) = cos x
- tan(-x) = – tan x
- cot(-x) = -cot x
- csc(-x) = -csc x
- sec(-x) = sec x
هويات فيثاغورس المثلثية
يتم التعبير عن نظرية فيثاغورس باستخدام الاقترانات المثلثية من خلال الهويات التالية:
- sin^2 x + cos^2 x = 1
- 1 + tan^2 x = sec^2 x
- cosec^2 x = 1 + cot^2 x
الاقترانات الدورية
الاقترانات المثلثية هي اقترانات دورية، وأصغر دورة دورية لها هي 2π، باستثناء الظل وظل التمام اللذين تكون دورتهما π. الاقترانات الدورية هي:
- sin(x+2nπ) = sin x
- cos(x+2nπ) = cos x
- tan(x+nπ) = tan x
- cot(x+nπ) = cot x
- csc(x+2nπ) = csc x
- sec(x+2nπ) = sec x
حيث إن n هو أي عدد صحيح.
هويات الجمع والطرح
- sin(x+y) = sin(x).cos(y)+cos(x).sin(y)
- sin(x–y) = sin(x).cos(y)–cos(x).sin(y)
- cos(x+y) = cosx.cosy–sinx.siny
- cos(x–y) = cosx.cosy+sinx.siny
- tan(x+y) = [tan(x)+tan(y)]/[1-tan(x)tan(y)]
- tan(x-y) = [tan(x)-tan(y)]/[1+tan(x)tan(y)]