دراسة شاملة عن شكل شبه المنحرف

محتويات

• تعريف شبه المنحرف
• خصائص شبه المنحرف
• أنواع شبه المنحرف
• حساب ارتفاع شبه المنحرف
• حساب أطوال أقطار شبه المنحرف
• حساب مساحة شبه المنحرف
• حساب محيط شبه المنحرف
• أمثلة حسابية متنوعة على شبه المنحرف
• المراجع

تعريف شبه المنحرف

شبه المنحرف هو شكل هندسي مُسطّح ذو أربعة أضلاع مُستقيمة، يتميز بوجود زوج من الأضلاع المتقابلة المتوازية، تُعرف هذه الأضلاع بقاعدتي شبه المنحرف. بينما يُطلق على الضلعين الآخرين غير المتوازيين اسم الساقين.
المسافة العمودية المستقيمة التي تُوصل بين القاعدتين تُعرف بالارتفاع. [1]

خصائص شبه المنحرف

يتمتع شكل شبه المنحرف بمجموعة من الخصائص المميزة، منها:

• يحتوي على أربعة زوايا، ومجموع قياسها 360 درجة. زوايا الساق الواحدة تُعدّ مكملة لبعضها البعض. [4]
• عند رسم المستقيم المتوسط أو خط الوسط في شبه المنحرف، يكون موازياً لقاعدتيه. وطوله يساوي مجموع طول القاعدتين مقسوماً على 2. [5]
• نقطة تقاطع قطري شبه المنحرف تقع على استقامة واحدة مع نقاط المنتصف لكل ضلعين متقابلين. [5]

أنواع شبه المنحرف

هناك عدة أنواع لشكل شبه المنحرف، تختلف باختلاف خواصها:

• شبه المنحرف متساوي الساقين: يتميز بوجود ساقين متساويتين في الطول. [5]
  • زوايا القاعدة السفلى متساوية وكذلك زوايا القاعدة العلوية.
  • طول قطريه متساوٍ.
  • قياس زاوية القاعدة السفلى يُعدّ مُكمّلاً لقياس زاوية القاعدة العليا على نفس الساق في كل اتجاه. [6]
• شبه المنحرف قائم الزاوية: يحتوي على زوايتين قائمتين، بحيث يكون أحد ساقيه عمودياً على القاعدتين. [7]
• شبه المنحرف مُختلف الأضلاع: لا يوجد فيه أضلاع أو زوايا متساوية. [2]

حساب ارتفاع شبه المنحرف

يمكن حساب ارتفاع شبه المنحرف باستخدام القانون التالي:

ارتفاع شبه المنحرف = طول الساق المقابل للارتفاع × جا الزاوية السفلية المحصورة بين هذا الضلع والقاعدة السفلية.

لنفترض أن لدينا شبه منحرف (أ ب ج د) ، حيث (أب) تمثل القاعدة السفلية، و(د ج) القاعدة العلوية.

ارتفاع شبه المنحرف (أ ب ج د) يساوي:

الارتفاع = طول الساق (أ د) × جا الزاوية (أ)

أو

الارتفاع = طول الساق (ب ج) × جا الزاوية (ب)

حساب أطوال أقطار شبه المنحرف

لحساب أطوال أقطار شبه المنحرف (أ ب ج د) ، حيث (أب) تمثل القاعدة السفلية، و(د ج) القاعدة العلوية، يتم تطبيق القانون التالي:

طول القطر الأول (أج) = الجذر التربيعي للقيمة ((أب)² + (ب ج)² − 2×(أب)(ب ج)×جتا(الزاوية المحصورة بينهما))

طول القطر الثاني (دب) = الجذر التربيعي للقيمة ((أد)² + (أب)² − 2×(أد)(أب)×جتا (الزاوية المحصورة بينهما))

يمكن التعبير عن مجموع مربعي طولي قطريه بالمعادلة التالية:

مجموع مربعي طولي قطريه = مربع طول الساق الأول + مربع طول الساق الثاني + 2 × طول القاعدتين

لحساب أطوال أقطار شبه المنحرف قائم الزاوية، يتم تطبيق نظرية فيثاغورس، مما ينتج عنه:

طول القطر الأول = الجذر التربيعي لمجموع مربعي طول ساقه القائم على القاعدتين وطول القاعدة السفلى

طول القطر الثاني = الجذر التربيعي لمجموع مربعي طول ساقه القائم على القاعدتين وطول القاعدة العليا

لنفترض أن لدينا شبه منحرف (أ ب ج د) قائم الزاوية عند (أ) وعند (ب)، وعليه يكون:

طول القطر الأول = الجذر التربيعي للقيمة ((أب)² + (ب ج)²)

طول القطر الثاني = الجذر التربيعي للقيمة ((أب)² + (أد)²)

حساب مساحة شبه المنحرف

يمكن إيجاد مساحة شبه المنحرف باستخدام القانون التالي:

مساحة شبه المنحرف = ½ × ( مجموع طول القاعدتين) × الارتفاع

يمكن اشتقاق هذا القانون بتقسيم شكل شبه المنحرف إلى مثلثين ومستطيل، وعليه:

مساحة شبه المنحرف = مساحة المثلث الأول + مساحة المثلث الثاني + مساحة المستطيل

يمكن التعبير عن ذلك في المعادلة التالية:

مساحة شبه المنحرف = (½) × قاعدة المثلث الأول × ارتفاعه + (½) × قاعدة المثلث الثاني × ارتفاعه + طول المستطيل × عرضه

لنفترض أن هناك شبه منحرف قُسّم إلى مثلث أول قائم طول قاعدته (أ)، وارتفاعه (ع)، ومستطيل قاعدته (ب) وارتفاعه (ع)، ومثلث قائم آخر قاعدته (ج) وارتفاعه (ع).

مساحة المثلث الأول = (½)×أ×ع، ومساحة المثلث الثاني = (½)×ج×ع، ومساحة المستطيل = ب×ع.

منه، مساحة شبه المنحرف = (½)×أ×ع+(½)×ج×ع+ب×ع.

وبضرب الطرفين بالرقم (2)، ينتج أن: 2×مساحة شبه المنحرف = أ×ع+ج×ع+2ب×ع.

بإخراج ع كعامل مشترك ينتج أن: 2×مساحة شبه المنحرف = ع× (أ+ج+2ب).

وبالقسمة على (2)، ومن خلال معرفة أن (أ+ج+ب) يساوي طول القاعدة السفلية وهو ب2، وأن (ب) هو طول القاعدة العلوية ينتج أن: مساحة شبه المُنحرف= (½) × مجموع طول القاعدتين × الارتفاع= (½) × (ب+ب2) ×ع.

حساب محيط شبه المنحرف

محيط شبه المنحرف يساوي مجموع أطوال أضلاعه الأربعة. يمكن استخدام نظرية فيثاغورس لإيجاد طول أحد الأضلاع في حال كان مجهولاً. [10]

يمكن كتابة صيغة القانون كما يأتي:

محيط شبه المنحرف = أ + ب + ج + د

حيث أنّ:(أ)، (ب)، (ج)، (د):هي أطوال اضلاع شبه المنحرف على التوالي.

أمثلة حسابية متنوعة على شبه المنحرف

سنُقدم مجموعة من الأمثلة لتوضيح حسابات مختلفة على شبه المنحرف:

1. إذا كان مُحيط شبه منحرف متساوي الساقين 110 م، بينما طولي قاعدتيه 40 م، و30 م، فجد مساحة شبه المنحرف وأطوال أضلاعه غير المتوازية. [2]

   الحل:

   بداية يتم حساب طول أحد جانبيه اعتماداً على محيط شبه المنحرف، وبما أنّ شبه المنحرف متساوي الساقين فإنّ جوانبه غير المتوازية تكون متساوية في الطول، وعليه فإنّ:

   محيط شبه المنحرف= مجموع أطوال أضلاعه 110= 40 + 30 + (2 × س)(2 × س)= 110 – 70(2 × س)= 40، ومنه س= 20

   ولإيجاد مساحة شبه المنحرف يجب أولاً إيجاد الارتفاع له عن طريق تطبيق نظرية فيثاغورس كما يأتي: (20)²= (5)² + (الارتفاع)²

   ملاحظة: 5 هي عبارة عن طول قاعدة المثلث الناتج عن تقسيم شبه المنحرف إلى مثلثين ومستطيل

   400= 25 + (الارتفاع )²، (الارتفاع )²= 375، وبأخذ الجذر التربيعي للطرفين الارتفاع= 19.36 م

   الآن يُمكن تطبيق قانون المساحة= (½) × مجموع طول القاعدتين × الارتفاع = (½) × (30+40) × 19.36 = (½) × 70 × 19.36 = 677.6 م²

2. شبه منحرف (أ ب ج د) له مستقيم متوسط طوله 15 سم، ويبلغ طول القاعدة السُفلى (8 س + 5 )، بينما يبلغ طول القاعدة العُليا (6 س – 3)، جد قيمة س. [12]

   الحل:

   طول المستقيم المتوسط= (½) × مجموع طول القاعدتين، وهذه إحدى خصائص شبه المنحرف.

   15= (½) × ( 8 س + 5 + 6 س − 3) = (½) × ( 14س + 2)

   7 س= 14، ومنه س= 2

3. (أ ب ج د) شبه منحرف متساوي الساقين إذا كان قياس الزاوية (أ د ج)= 115°، جد قياس الزاوية (أ ب ج). [13]

   الحل:

   حسب خصائص المثلث فإنّ الزوايتين الداخليتين المتجاورتين الواقعتين بين القاعدتين المتوازيتين (على نفس الساق) تكون مكملة للأخرى، إذن تكون الزاوية (د ج ب) حاصل طرح 115° من 180°؛ أي أنّ: قياس الزاوية (د ج ب)= 180° – 115°= 65°

   من المعلوم أنّ زوايا القاعدة لشبه المنحرف متساوي الساقين متطابقة، وعليه فإنّ قياس الزاوية (أ ب ج)= 65°.

4. (س ص ع ل) شبه منحرف قائم الزاوية فيه طول الضلع (س ص)= 15.24 سم، وطول الضلع (ص ع)= 25.4 سم، وطول الضلع (ع ل)= 20.32 سم، وطول الضلع (ل س)= 10.16 سم، رُسِم مستقيم متوسط له اسمه (و ي)، جد طول (ع ي). [13]

   الحل:

   بما أنّ المستقيم المتوسط يكون موازياً للقاعدتين وطوله يساوي متوسط طول القاعدتين، فهذا يعني أنّ المستقيم المتوسط يُنصّف جانبي شبه المنحرف إلى قطعتين متساويتين، وبذلك فإنّ طول (ع ي)= ½ × (ل ع)، فإذن (ع ي)= 10.16 سم.

5. (أ ب ج د) شبه منحرف قائم الزاوية، حيث (أ ب) يوازي (د ج)، وقياس الزاوية (أ) يُساوي 120°، جد قياس الزاوية (د). [14]

   الحل:

   بما أنّ مجموع أي زوايتين على نفس ساق شبه المنحرف يساوي 180°، فإنّ: قياس الزاوية (د) + قياس الزواية (أ)= 180°

   وعليه فإن قياس الزاوية (د)= 180° – 120° = °60

6. (أ ب ج د) شبه منحرف، إذا عُلم أنّ مجموع قياس الزوايا (أ) و(ب) و(ج)= 290°، جد قياس الزواية (د). [14]

   الحل:

   بما أنّ شبه المنحرف شكل رباعي الأضلاع، فإن مجموع زواياه 360°، ومنه نستنتج ما يأتي:

   قياس الزواية (د)= 360°- 290°، ومنه قياس الزواية (د)= 70°

المراجع

1. “Trapezoid”, www.mathsisfun.com, Retrieved 1-12-2019.

2. “Trapezoids”, www.superprof.co.uk, Retrieved 1-12-2019.

3. Yuanxin (Amy) Yang Alcocer,”Trapezoid”،study.com, Retrieved 1-12-2019.

4. “Properties of a Trapezoid”, www.moomoomath.com, Retrieved 2-12-2019.

5. “Trapezoids”, byjus.com, Retrieved 1-12-2019.

6. Mark Ryan (1-12-2019),”The Properties of Trapezoids and Isosceles Trapezoids”،www.dummies.com, Retrieved 1-12-2019.

7. “RightTrapezoid”, mathworld.wolfram.com, Retrieved 1-12-2019.

8. “Area Of Trapezium”, byjus.com, Retrieved 1-12-2019.

9. “Area of a Trapezoid”, www.mathgoodies.com, Retrieved 1-12-2019.

10. “Trapezoids: Area and Perimeter”, www.varsitytutors.com, Retrieved 1-12-2019.

11. “Intermediate Geometry : How to find the perimeter of a trapezoid”, www.varsitytutors.com, Retrieved 1-12-2019.

12. Lecturers at Illinois State University ,Geometry: Concepts and Applications, USA: McGraw-Hill, Page 46.

13. “Trapezoid Properties”, www.ck12.org, Retrieved 1-12-2019.

14. “Properties of Trapezoids”, brilliant.org, Retrieved 2-12-2019.