مدخل إلى تمارين الدوال اللوغاريتمية
الدالة اللوغاريتمية تعتبر معكوساً للدالة الأسية، وهي أداة رياضية قوية تستخدم في مجالات متنوعة مثل العلوم الهندسية، الفيزياء، وعلم الحاسوب. فهم كيفية التعامل مع الدوال اللوغاريتمية يفتح الباب لحل العديد من المشكلات المعقدة. في هذا المقال، سنستعرض مجموعة من التمارين التي تغطي جوانب مختلفة من الدوال اللوغاريتمية، بدءًا من حساب قيمها وصولًا إلى حل المعادلات التي تتضمنها.
طرق حساب قيم الدوال اللوغاريتمية
في هذا القسم، سنركز على كيفية إيجاد قيمة الدالة اللوغاريتمية لأعداد مختلفة. من المهم تذكر أن اللوغاريتم يسأل: “ما هو الأس الذي يجب أن نرفع إليه الأساس للحصول على هذا العدد؟”.
أمثلة توضيحية
المثال الأول: ما هو لوغاريتم العدد 64 للأساس 8؟
الحل: نبحث عن الأس الذي نرفع إليه العدد 8 ليكون الناتج 64. بما أن 8 مرفوعة للأس 2 تساوي 64 (82 = 64)، فإن:
لو8 (64) = 2
المثال الثاني: احسب قيمة لو9(729).
الحل: هنا نبحث عن الأس الذي نرفع إليه العدد 9 ليكون الناتج 729. بما أن 9 مرفوعة للأس 3 تساوي 729 (93 = 729)، فإن:
لو9 (729) = 3
المثال الثالث: ما هو لوغاريتم العدد 245 للأساس 7؟
الحل: في هذه الحالة، يصعب إيجاد الأس المطلوب مباشرةً. لذلك، نستخدم خاصية تغيير الأساس في اللوغاريتمات، والتي تنص على أن: لوأ(ب) = لوج(ب) / لوج(أ). غالبًا ما نختار الأساس 10 لسهولة استخدامه مع الآلة الحاسبة.
إذًا:
لو7(245) = لو10(245) / لو10(7)
باستخدام الآلة الحاسبة، نجد أن:
لو7(245) = 2.389 / 0.845
لو7(245) ≈ 2.827
ويمكن التحقق من صحة الحل عن طريق رفع 7 الى الأس 2.827 لنتأكد ان الناتج قريب من 245
إيجاد قيمة المتغير في المعادلات اللوغاريتمية
يتناول هذا الجزء كيفية حل المعادلات التي تحتوي على دوال لوغاريتمية لإيجاد قيمة المتغير المجهول.
أمثلة مع الحلول
المثال الأول: أوجد قيمة ‘س’ في المعادلة: لو6(س) = 3
الحل: لتحويل المعادلة اللوغاريتمية إلى معادلة أسية، نستخدم تعريف اللوغاريتم. نعلم أن لوأ(ب) = ج يعني أج = ب. وبالتالي:
63 = س
س = 216
المثال الثاني: حل المعادلة: لو2(س-3) = 5
الحل: بنفس الطريقة، نحول المعادلة اللوغاريتمية إلى معادلة أسية:
25 = س – 3
32 = س – 3
س = 35
المثال الثالث: أوجد قيمة ‘س’ في المعادلة: لو6(6س-8) + لو6(6س+8) = لو6(6)
الحل: لحل هذه المعادلة، نستخدم خصائص اللوغاريتمات. تذكر أن:
- لوأ(أ) = 1، إذن لو6(6) = 1، لأن 61 = 6.
- لوأ(س) + لوأ(ص) = لوأ(س × ص).
إذًا، يمكننا إعادة كتابة المعادلة كالتالي:
لو6((6س-8) × (6س+8)) = 1
نحول المعادلة إلى معادلة أسية:
61 = (6س-8) × (6س+8)
6 = 36س2 – 64
70 = 36س2
س2 = 70 / 36 ≈ 1.94
س = √1.94 ≈ 1.39
