تبسيط كثيرات الحدود: طرق وأساليب

إيجاد القاسم المشترك الأكبر

تعتمد هذه الطريقة على إيجاد الثوابت أو المتغيرات الموجودة في جميع الحدود. هذه الثوابت والمتغيرات تشكل معًا ما يُعرف بـ “القاسم المشترك الأكبر”. غالبًا ما يُنصح بالبدء بهذه الطريقة كخطوة أولى في تبسيط أي كثيرة حدود. إليكم بعض الأمثلة:

مثال 1: بسّط كثيرة الحدود التالية: 15س³+5س²-25س.

الحل: نلاحظ أن القاسم المشترك الأكبر بين جميع الحدود هو (5س). بقسمة جميع الحدود على هذا المقدار، يصبح الناتج: 5س(3س²+س-5).

مثال 2: بسّط كثيرة الحدود التالية: (3ص-5)(س+7)-ع(س+7).

الحل: نلاحظ أن القاسم المشترك الأكبر هو (س+7). بقسمة جميع الحدود على هذا المقدار، يصبح الناتج: (س+7)(3ص-5-ع).

التبسيط بالتجميع

تُستخدم هذه الطريقة عندما لا يوجد قاسم مشترك بين جميع الحدود، ولكن يوجد قاسم مشترك بين حدين أو أكثر. يتم التبسيط بتجميع الحدود التي تشترك في عامل مشترك، ثم إخراج العامل المشترك بينها كما سبق شرحه.

مثال 1: بسّط كثيرة الحدود التالية: 2س ص+3س-14ص-21.

الحل: نلاحظ أن الحدين (2س ص) و (3س) يشتركان في (س)، وأن الحدين (-14ص) و (-21) يشتركان في (-7). يمكن إعادة كتابة كثيرة الحدود السابقة على النحو التالي: س(2ص+3)-7(2ص+3) = (س-7)(2ص+3).

مثال 2: بسّط كثيرة الحدود التالية: س³+3س²+4س+12.

الحل: نلاحظ أن الحدين (س³) و (3س²) يشتركان في (س²)، وأن الحدين (4س) و (12) يشتركان في (4). يمكن إعادة كتابة كثيرة الحدود السابقة على النحو التالي: س²(س+3)+4(س+3) = (س+3)(س²+4).

التبسيط بالتعويض

في بعض الأحيان، يمكن تبسيط كثيرات الحدود عن طريق استبدال بعض الحدود بتعبير أبسط لتسهيل التبسيط.

مثال: بسّط كثيرة الحدود التالية: (س-ص)(س-ص-1)-20.

الحل: باستبدال القيمة (س-ص) بـ (ع)، يمكن التعبير عن كثيرة الحدود السابقة كما يلي: ع(ع-1)-20 = ع²-ع-20.

كثيرة الحدود (ع²-ع-20) تمثل عبارة تربيعية يمكن تبسيطها باستخدام إحدى طرق تبسيط العبارة التربيعية كما يلي: ع²-ع-20 = (ع+4)(ع-5) = (س-ص+4)(س-ص-5).

تبسيط العبارات التربيعية

يمكن تبسيط العبارة التربيعية، والتي هي حالة خاصة من كثيرات الحدود وتأخذ الصورة: أس²+ب س+جـ (حيث أ لا تساوي صفرًا)، بعدة طرق. إحدى هذه الطرق هي:

إذا كانت أ=1: لتبسيط العبارة التربيعية التي تأخذ الصورة: س²+ب س+جـ، يجب البحث عن عددين (هـ، ع) حاصل جمعهما يساوي (ب)، وحاصل ضربهما يساوي (جـ)؛ حيث: هـ+ع=ب ، هـ×ع=جـ، ثم كتابتها على النحو الآتي: أس²+ب س+جـ = (س+هـ)(س+ع).

مثال 1: بسّط كثيرة الحدود التالية: س²+5س-6.

الحل: العددين اللذين مجموعهما (5)، وحاصل ضربهما (-6)؛ هما: (+6، -1)، لذلك يكون الناتج: س²+5س-6= (س+6)(س-1).

مثال 2: بسّط كثيرة الحدود التالية: س²-4س-12.

الحل: العددين اللذين مجموعهما (-4)، وحاصل ضربهما (-12)؛ هما: (-6، 2)، لذلك يكون الناتج: س²-4س-12 = (س-6)(س+2).

إذا كانت أ≠1: تبسيط العبارة التربيعية التي تأخذ الصورة: أس²+ب س+جـ، عن طريق كتابتها على الصورة الآتية: (د س+ح)(هـ س+ط)؛ حيث: د×هـ = أ، ح×ط = جـ، د×ط+هـ×ح = ب. يتم ذلك بفتح قوسين والبدء بتخمين الأعداد السابقة على الترتيب بالعثور على عددين حاصل ضربهما هو أ، وعددين آخرين حاصل ضربهما هو جـ، ثم التحقق من أن هذه الأعداد تحقق العلاقة د×ط+هـ×ح = ب قبل كتابتها في القوسين.

مثال 1: بسّط كثيرة الحدود التالية: 2س²-7س-15.

الحل: يمكن تبسيط العبارة السابقة على النحو الآتي: (2س+3)(س-5)؛ حيث إن: 2×1 = 2 = أ، 3×-5 = -15 = جـ، 3×1+2×-5 = -7 = ب.

مثال 2: بسّط كثيرة الحدود التالية: 2س²+9س-5.

الحل: يمكن تبسيط العبارة السابقة على النحو الآتي: (2س-1)(س+5)؛ حيث إن: 2×1 = 2 = أ، 5×-1= -5 = جـ، -1×1+2×5 =+9 = ب.

مثال 3: بسّط كثيرة الحدود التالية: س³+2س²-3س.

الحل: بإخراج س كعامل مشترك ينتج أن: س(س²+2س-3)، وبتبسيط العبارة التربيعية س²+2س-3 ينتج أن: س³+2س²-3س = س(س²+2س-3) = س(س+3)(س-1).

تبسيط بعض الصيغ الخاصة

فيما يلي بعض الصيغ الخاصة لكثيرات الحدود وكيفية تبسيطها:

الفرق بين مربعين: وهي كثيرة الحدود التي تأخذ الصورة: س²-أ²، ويمكن تبسيطها عن طريق كتابتها على شكل: س²-أ²=(س+أ)(س-أ).

الفرق بين مكعبين: وهي كثيرة الحدود التي تأخذ الصورة: أ³-ب³، ويمكن تبسيطها عن طريق كتابتها على شكل: أ³-ب³=(أ-ب)(أ²+أب+ب²).

مجموع مكعبين: وهي كثيرة الحدود التي تأخذ الصورة: أ³+ب³، ويمكن تبسيطها عن طريق كتابتها على شكل: أ³+ب³=(أ+ب)(أ²-أب+ب²).

مثال 1: بسّط كثيرة الحدود التالية: 27س³+8.

الحل: كثيرة الحدود هذه تأتي على صورة مجموع مكعبين، لذلك يمكن تبسيطها على شكل: (3س+2)(9س²-6س+4).

مثال 2: بسّط كثيرة الحدود التالية: 20س²-405.

الحل: يمكن لكثيرة الحدود هذه بعد إخراج (5) كعامل مشترك أن تصبح على شكل فرق بين مربعين: 5(4س²-81)، ثم تبسيطها بالشكل الآتي: 5(4س²-81) = 5(2س+9)(2س-9).

تبسيط العبارات التكعيبية أو ذات الدرجات العليا

يمكن تبسيط كثيرات الحدود ذات الدرجة الثانية أو أكثر عن طريق تخمين أحد جذورها أو حلولها؛ أي العثور بالتجربة على قيمة للمتغير (س) ولنفترض أنها (أ) تجعل قيمة كثيرة الحدود مساوية للصفر، وذلك عن طريق تعويض قيم مختلفة مكان المتغير (س) حتى العثور عليها، وبالتالي نفترض أن (س-أ) يعتبر أحد عوامل كثيرة الحدود هذه، ثم وبقسمة كامل كثيرة الحدود على ذلك العامل بالقسمة التركيبية، يمكن العثور على بقية العوامل.

مثال 1: بسّط كثيرة الحدود التالية: س³-4س²-7س+10.

الحل: العدد (1) يحقق كثيرة الحدود هذه؛ أي أنّ: (1)³-4×(1)²-7×(1)+10= 0، ويعتبر أحد جذورها؛ لذلك فإن (س-1) يعتبر أحد عواملها.

بقسمة (س³-4س²-7س+10) على (س-1) بواسطة القسمة التركيبية ينتج أن: عوامل (س³-4س²-7س+10)، هي: (س-1)(س²-3س-10).

لأنّ س²-3س-10 هي عبارة تربيعية فإنه يمكن تبسيطها كما ذُكر سابقاً، لتصبح: س²-3س-10 = (س-5)(س+2).

إذًا عوامل س³-4س²-7س+10 هي: (س-1)(س-5)(س+2).

مثال 2: بسّط كثيرة الحدود التالية: س³-5س²-2س+24.

الحل: العدد (3) يحقق كثيرة الحدود هذه؛ أي أنّ: (3)³-5×(3)²-2×(3)+24= 0، ويعتبر أحد جذورها؛ لذلك فإن (س-3) يعتبر أحد عواملها.

بقسمة (س³-5س²-2س+24) على (س-3) بواسطة القسمة التركيبية ينتج أن: عوامل (س³-5س²-2س+24)، هي: (س-3)(س²-2س-8).

لأنّ س²-2س-8 هي عبارة تربيعية فإنه يمكن تبسيطها كما ذُكر سابقاً، لتصبح: س²-2س-8 = (س-4)(س+2).

إذًا عوامل س³-5س²-2س+24 هي: (س-3)(س-4)(س+2).