فهرس المحتويات
السمات الرئيسية للمثلثات
المثلث، ببساطة، هو شكل هندسي يتكون من ثلاثة أضلاع، وثلاث زوايا، وثلاثة رؤوس. وهو من الأشكال الأساسية في الهندسة. فيما يلي بعض الصفات الهامة التي تميز المثلثات بشكل عام:
- مجموع قياسات الزوايا الثلاث داخل أي مثلث يساوي دائمًا 180 درجة.
- في أي مثلث، يكون مجموع طولي أي ضلعين دائمًا أكبر من طول الضلع الثالث.
- الفرق بين طولي أي ضلعين في المثلث يكون دائماً أقل من طول الضلع الثالث.
- الضلع الأطول في المثلث يقابل الزاوية الأكبر.
- قياس الزاوية الخارجية للمثلث يساوي مجموع قياسي الزاويتين الداخليتين البعيدتين. وتعرف هذه الخاصية بـ (خاصية الزاوية الخارجية).
- يتشابه المثلثان إذا كانت الزوايا المتناظرة في كليهما متطابقة، وكانت أطوال الأضلاع المتناظرة متناسبة.
لحساب مساحة ومحيط المثلث، نستخدم القوانين التالية:
- مساحة المثلث = ½ × طول القاعدة × الارتفاع.
- محيط المثلث = مجموع أطوال أضلاعه الثلاثة.
يصنف المثلث حسب زواياه إلى:
- المثلث حاد الزوايا: هو المثلث الذي تكون جميع زواياه الداخلية أقل من 90 درجة.
- المثلث منفرج الزاوية: هو المثلث الذي يحتوي على زاوية واحدة قياسها أكبر من 90 درجة.
خصائص الخط المتوسط في المثلث
الخط المتوسط في المثلث هو الخط الذي يمتد من أحد الرؤوس إلى منتصف الضلع المقابل لهذا الرأس. هذه الخطوط لها خصائص مهمة:
- في المثلثات متساوية الساقين ومتساوية الأضلاع، ينصف الخط المتوسط الزاوية عند الرأس الواقع بين الضلعين المتساويين إلى زاويتين متطابقتين تمامًا.
- يوجد في كل مثلث ثلاثة خطوط متوسطة تتقاطع جميعها في نقطة واحدة تسمى النقطة المركزية. هذه النقطة تقسم كل خط متوسط بنسبة 2:1.
- يقسم كل خط متوسط المثلث إلى مثلثين لهما نفس المساحة.
- يمكن حساب طول الخط المتوسط باستخدام نظرية أبولونيوس:
- مأ=((2بَ²+2جَ²-أَ²)÷4)√
- أومب=((2أَ²+2جَ²-بَ²)÷4)√
- أومج=((2بَ²+2أَ²-جَ²)÷4)√
حيث:
- مأ: طول الخط المتوسط النازل من الرأس أ، أَ: طول الضلع المقابل للرأس أ.
- مب: طول الخط المتوسط النازل من الرأس ب، بَ: طول الضلع المقابل للرأس ب.
- مج: طول الخط المتوسط النازل من الرأس ج، جَ: طول الضلع المقابل للرأس ج.
سمات ارتفاع المثلث
الارتفاع في المثلث هو الخط العمودي الذي يمتد من أحد الرؤوس إلى الضلع المقابل (القاعدة). يتمتع الارتفاع بالخصائص التالية:
- يمكن أن يقع ارتفاع المثلث داخل أو خارج المثلث نفسه، وهذا يتوقف على نوع المثلث.
- لكل مثلث ثلاثة ارتفاعات محتملة، واحد ينطلق من كل رأس.
- الارتفاع هو أقصر مسافة من الرأس إلى الضلع المقابل له في المثلث.
- تلتقي الارتفاعات الثلاثة دائمًا في نقطة واحدة، بغض النظر عن شكل المثلث، وتسمى هذه النقطة بملتقى الارتفاعات.
صفات المثلث القائم الزاوية
المثلث القائم الزاوية هو المثلث الذي توجد به زاوية قياسها 90 درجة. الضلع المقابل للزاوية القائمة يسمى الوتر، وهو أطول ضلع في المثلث.
يمكن حساب طول الوتر باستخدام نظرية فيثاغورس:
(الوتر)² = (الضلع الأول)² + (الضلع الثاني)² أو أ² = ب² + ج²
حيث:
- أ: طول الوتر.
- ب، ج: أطوال الضلعين الآخرين.
تشمل الخصائص الأخرى للمثلث القائم الزاوية ما يلي:
- يمكن أن يكون المثلث القائم الزاوية متساوي الساقين إذا كان الضلعان اللذان يشكلان الزاوية القائمة متساويين في الطول.
- لا يمكن أن يكون المثلث القائم الزاوية متساوي الأضلاع لأن الوتر دائمًا أطول من الأضلاع الأخرى.
- الخط المتوسط الممتد من الوتر في المثلث القائم الزاوية يقسمه إلى مثلثين متطابقين، وكل منهما متساوي الساقين.
- طول الخط المتوسط المرسوم من الزاوية القائمة يساوي نصف طول الوتر.
- المثلث القائم الزاوية والمتساوي الساقين له زاوية قائمة وزاويتين حادتين قياس كل منهما 45 درجة، ويكون الضلعان الآخران متساويين في الطول.
- المثلث القائم الزاوية والمختلف الأضلاع له زاوية قائمة وزاويتان حادتان قياس كل منهما مختلف عن الآخر، وتكون أطوال الأضلاع مختلفة أيضًا.
مميزات المثلث متساوي الأضلاع
المثلث متساوي الأضلاع هو المثلث الذي تكون أضلاعه الثلاثة متساوية في الطول. نتيجة لذلك، تكون جميع زواياه الداخلية متساوية أيضًا، وكل منها يساوي 60 درجة.
يتميز المثلث متساوي الأضلاع بالخصائص التالية:
- في المثلث متساوي الأضلاع، يكون الارتفاع، والخط المتوسط، ومنصف الزاوية، والمنصف العمودي لكل ضلع من الأضلاع هو نفس الخط، ويكون طوله متساويًا لجميع الأضلاع، ويساوي:(3√×س)÷2؛ حيث س: طول ضلع المثلث متساوي الأضلاع، وعليه تكون أطوال خط المتوسط الثلاثة في المثلث متساوي الأضلاع دائماً متساوية.
خصائص المثلث متساوي الساقين
المثلث متساوي الساقين هو المثلث الذي يكون فيه ضلعان متساويين في الطول، بينما يختلف الضلع الثالث عنهما. الزاويتان المقابلتان للضلعين المتساويين متساويتان أيضًا (تُعرفان بزوايا القاعدة).
تشمل خصائص المثلث متساوي الساقين ما يلي:
- قاعدة المثلث متساوي الساقين هي الضلع الثالث الذي لا يساوي طوله طولي الضلعين الآخرين.
- الارتفاع الممتد من رأس المثلث متساوي الساقين ينصف القاعدة إلى قسمين متساويين، وينصف زاوية الرأس إلى قسمين متساويين أيضًا.
- الارتفاع الممتد من رأس المثلث متساوي الساقين يقسم المثلث إلى مثلثين متطابقين قائمي الزاوية.
- الارتفاع في المثلث متساوي الساقين هو نفسه الخط المتوسط.
- يتساوى طول الخطوط المتوسطة المرسومة من الزوايا المتساوية في المثلث متساوي الساقين.
سمات المثلث المختلف الأضلاع
المثلث المختلف الأضلاع هو المثلث الذي تختلف فيه أطوال الأضلاع الثلاثة وقياس الزوايا عن بعضها البعض.
تشمل خصائص المثلث المختلف الأضلاع ما يلي:
- لا يمتلك المثلث المختلف الأضلاع أضلاعاً متساويةً في الطول.
- لا يمتلك المثلث المختلف الأضلاع زوايا متساوية في القياس.
- يُمكن أن تكون زوايا المثلث مختلف الأضلاع حادّة، أو منفرجة، أو قائمة.
- لا يمتلك المثلث مختلف الأضلاع خط تناظر.
- لا يمتلك المثلث مختلف الأضلاع نقطة تماثل.
- تكون أطوال خط المتوسط الثلاثة في المثلث مختلف الأضلاع دائماً مختلفة.
أمثلة تطبيقية على خصائص المثلث
المثال الأول: إذا كان المثلث أ ب جـ مثلث قائم الزاوية في جـ، وكانت د نقطة على الوتر أ ب، وكان جـ د يعامد أ ب، وقياس الزاوية د أ جـ = 65°، فما هو قياس كل من الزاويتين: أ جـ د، أ ب جـ؟
الحل:
مجموع زوايا المثلث ∆أ جـ د = 180، ومنه ∠أ د جـ + ∠د أ جـ + ∠أ جـ د = 180، 90 + 65 + ∠أ جـ د = 180، ومنه ∠أ جـ د = 25°.
بما أن أ جـ يعامد أ جـ فإن الزاوية أ جـ ب = 90 درجة، وهي تساوي ∠ب جـ د + ∠أ جـ د، ومنه: ∠ب جـ د + ∠25 = 90، ومنه ∠ب جـ د = 65°.
مجموع زوايا المثلث ∆ب د جـ = 180، ومنه ∠جـ ب د + ∠ب د جـ + ∠ ب جـ د = 180، ∠جـ ب د + 90 + 65 = 180، ومنه ∠جـ ب د = 25°، والزاويتان ∠أ ب جـ = ∠جـ ب د = 25°.
المثال الثاني: إذا كان المثلث أ ب جـ مثلث متساوي الساقين حيث أ ب = أ جـ، وكان قياس الزاوية أ = 100°، ما هو قياس الزاوية جـ؟
الحل:
بما أن المثلث أ ب جـ مثلث متساوي الساقين فقياس الزاويتين ⦣ب = ⦣ جـ.
مجموع زوايا المثلث ∆أ ب جـ = 180، ومنه ∠أ + ∠ب + ∠جـ = 180، 100 + ⦣ جـ + ⦣ جـ = 180، ومنه 100 + 2 × ⦣ جـ = 180، ومنه ⦣ جـ = (180 – 100) ÷ 2، ومنه ⦣ جـ = 40°.
وبما أن ⦣ب = ⦣ جـ بالتالي قياس ⦣ب = 40°.
المثال الثالث: هل من الممكن أن يكون هناك مثلث أطوال أضلاعه هي: 5 سم، 6 سم، 4 سم؟
الحل:
إذا كان مجموع أطوال أي ضلعين أكبر من الضلع الثالث، فإن هذه الأضلاع تشكّل مثلثاً، وعليه: 5 + 6 > 4، 5 + 4 > 6، 4 + 6 > 5، إذن يُمكن أن لهذه الأضلاع أن تشكّل مثلثاً.
المثال الرابع: تم تقصير أطوال أضلاع مثلث متساوي الأضلاع ليقل كل ضلع منها في طوله: 12سم، 13سم، 14سم، على الترتيب، وعليه أصبح هذا المثلث قائم الزاوية، جد طول كل ضلع من الأضلاع قبل تقصيرها؟
الحل:
نفترض أن س هو طول الأضلاع قبل تقصيرها، وعليه يكون طول أضلاع المثلث الأصلي بعد التقصير: (س – 12)، (س – 13)، (س – 14).
بما أنه تشكّل لدينا مثلث قائم الزاوية بعد تقصير الأضلاع، فإنه وبعد افتراض أن الضلع (س – 12) هو الوتر؛ لأنه أطول الأضلاع، يمكن التعويض في نظريّة فيثاغورس لينتج أن: أ² = ب² + جـ²، (س – 12)² = (س – 14)² + (س – 13)²، ومنه س² – 24س + 144 = (س² – 28س + 196) + ( س² – 26س + 169)، وبجمع الحدود المتشابهة ينتج أن: س² – 30س + 221، ومنه ينتج (س – 13)(س – 17) = 0، وعليه قيمة س = 17؛ لأنه لا يُمكن لاحد الأضلاع أن يكون سالباً، وذلك عند تعويض القيم فيما بعد.
تعويض قيمة (س) للحصول على أطوال الأضلاع لينتج أن:
- س – 12 = 17 – 12 = 5 سم.
- س – 13 = 17 – 13 = 4 سم.
- س – 14 = 17 – 14 = 3 سم.
المثال الخامس: هل يُمكن لزوايا مثلث أن يكون قياسها 90°، 60°، 30°؟
الحل:
يجب أن يكون مجموع زوايا المثلث = 180، فبجمع زوايا المثلث 90 + 60 + 30 ينتج أن مجموعها يساوي 180°، بالتالي يُمكن للمثلث أن يمتلك هذه الزوايا.
المثال السادس: مثلث زاويته الثانية أكبر بمقدار 5 درجات من الزاوية الأولى، والزاوية الثالثة أكبر بمقدار 5 درجات من الزاوية الثانية ما هو قياس الزوايا الثلاث؟
الحل:
نفرض أن قياس الزاوية الأولى = س، وقياس الزاوية الثانية = س + 5، وقياس الزاوية الثالثة = 5 + (س + 5) = س + 10.
مجموع زوايا المثلث = 180، وبالتالي: س + (س + 5) + (س + 10) = 180، ومنه 3س + 15 = 180، وبالتالي س = (180 – 15) ÷ 3، فينتج أن قياس الزاوية الأولى س = 55.
تعويض قيمة س لإيجاد قياس باقي الزوايا، قياس الزاوية الثانية = س + 5 = 55 + 5 = 60، وقياس الزاوية الثالثة = س + 10 = 55 + 10 = 65، بالتالي ينتج أن قياس الزوايا هو: (55°، 60°، 65°).
المثال السابع: إذا كان قياس زوايا مثلث هي ثلاثة اعداد صحيحة موجبة متتالية، ما هو قياس هذه الزوايا؟
الحل:
نفرض أن قياس الزاوية الأولى = س، وقياس الزاوية الثانية = س + 1، وقياس الزاوية الثالثة = س + 2.
مجموع زوايا المثلث = 180، وعليه: س + (س + 1) + (س + 2) = 180، ومنه: 3س + 3 = 180، بالتالي س = (180 – 3) ÷ 3، فينتج أن قياس الزاوية الأولى س = 59.
تعويض قيمة س لإيجاد قياس باقي الزوايا، قياس الزاوية الثانية = س + 1 = 59 + 1 = 60، وقياس الزاوية الثالثة = س + 2 = 59 + 2 = 61، بالتالي ينتج أن قياس الزوايا هو: (59°، 60°، 61°).
المثال الثامن: مثلث قائم الزاوية قياس زواياه غير القائمتين هو: س + 1، 2س + 5، ما هو قياس هذه الزوايا بالدرجات؟
الحل:
مجموع زوايا المثلث = 180، وعليه: 90 + (س + 1) + (2س + 5) = 180، ومنه 3س + 96 = 180، وبالتالي س = (180 – 96) ÷ 3، فينتج أن قيمة س = 28.
تعويض قيمة س لإيجاد قياس الزوايا، وعليه قياس الزاوية الثانية = س + 1 = 28 + 1 = 29، وقياس الزاوية الثالثة = 2س + 5 = (2 × 28) + 5 = 61، وبالتالي ينتج أن قياس الزوايا الأخرى هو: (29°، 61°).
