جدول المحتويات:
السمات الجوهرية للوغاريتمات
تُعتبر اللوغاريتمات عمليات رياضية تعاكس الأسس، تمامًا كعملية الطرح التي تُعاكس الجمع، والقسمة التي تُعاكس الضرب. بعبارة أخرى، اللوغاريتم هو الأُس الذي يجب رفع الأساس إليه للحصول على قيمة معينة. تتمتع اللوغاريتمات بمجموعة من الخصائص الأساسية التي تسهل التعامل معها وحل المعادلات الرياضية. وفيما يلي أهم هذه الخصائص (مع الأخذ في الاعتبار أن ‘ب’ يمثل أساس اللوغاريتم في جميع الحالات):
- لوب 1 = 0، والسبب هو أن أي عدد مرفوع للقوة صفر يساوي 1. وهذا يعني أن: ب0 = 1.
- لوب ب = 1، لأن أي عدد مرفوع للقوة واحد يساوي العدد نفسه. أي أن: ب1 = ب.
- لوب بس = س، وبشكل عام: لوب بق(س) = ق(س).
- بلوب س = س، وبشكل عام: بلوب ق(س) = ق(س).
- لوب (س × ص) = لوب س + لوب ص.
- لوب (س / ص) = لوب س – لوب ص.
- لوب سل = ل × لوب س.
- إذا كان: لوب س = لوب ص، فإن: س = ص.
- لوب (س + ص) ≠ لوب س + لوب ص.
- لوب (س – ص) ≠ لوب س – لوب ص.
- لوب أ = قيمة غير معرفة، إذا كانت قيمة أ عددًا سالبًا.
- لوب 0 = قيمة غير معرفة، لأنه لا يمكن لأي عدد مرفوع لأي أُس أن يساوي صفرًا.
عند قلب اللوغاريتم (أي جعل البسط مقامًا والمقام بسطًا)، يتم تبديل الأساس والنتيجة. على سبيل المثال:
لوأ ب = 1 / لوب أ. مثال: 5 / (2 × لوس ص) = (5 × لوص س) / 2
يمكن ضرب لوغاريتمين أو أكثر وإيجاد الناتج النهائي لحاصل ضربهما في الحالتين التاليتين فقط:
- الحالة الأولى: إذا كان ناتج اللوغاريتم الأول وأساس اللوغاريتم الثاني متساويين.
- الحالة الثانية: إذا كان أساس اللوغاريتم الأول وناتج اللوغاريتم الثاني متساويين.
في هذه الحالة ينتج أن:
لوأ ب × لوب جـ = لوأ جـ.
يمكن حساب قيم اللوغاريتمات العشرية والطبيعية باستخدام الآلة الحاسبة. لتسهيل الحساب، يمكن تغيير أساس اللوغاريتم إلى العدد النيبيري أو العدد 10 باستخدام خاصية تغيير الأساس:
لوأ س = لوب س / لوب أ، حيث ب = 10 أو العدد النيبيري (هـ).
مثال:
ما هو حل اللوغاريتم التالي: لو5 7؟
لإيجاد الحل، يجب البحث عن الأُس الذي عند رفع الأساس 5 إليه يكون الناتج 7، وهو أمر يصعب إيجاده دون الاستعانة بالآلة الحاسبة. باستخدام خاصية تغيير الأساس، ينتج أن:
لو5 7 = لو10 7 / لو10 5 = 0.845098040014 / 0.698970004336 = 1.20906195512
تصنيفات اللوغاريتمات
تتعدد أنواع اللوغاريتمات بناءً على قيمة الأساس، ولكن هناك نوعان يعتبران الأكثر شيوعًا ويمكن حسابهما باستخدام الآلات الحاسبة:
اللوغاريتم الاعتيادي
اللوغاريتم الاعتيادي (بالإنجليزية: Common Logarithm) هو اللوغاريتم الذي يكون أساسه العدد 10. في كثير من الأحيان، لا يُكتب الأساس في هذا النوع، ويُفترض تلقائيًا أن الأساس هو 10. أي أن: لو10 س = لو س.
اللوغاريتم الأساسي
اللوغاريتم الطبيعي (بالإنجليزية: Natural Logarithm) هو اللوغاريتم الذي يكون أساسه العدد النيبيري (هـ)، ويُكتب على الصورة الآتية: لوهـ س، أو (ln(x باللغة الإنجليزية.
نماذج تطبيقية على اللوغاريتمات
فيما يلي بعض الأمثلة المتنوعة حول اللوغاريتمات مع خطوات الحل:
مثال 1: باستخدام خصائص اللوغاريتمات، جد ناتج ما يلي:
- لو4 16
- لو2 16
- لو6 216
- لو5 (1/125)
- لو(1/3) 81
- لو(2/3) (8/27)
الحلول:
| المسألة | الحل |
|---|---|
| لو4 16 | نحتاج إلى البحث عن الأُس الذي عند رفع الأساس 4 إليه يكون الناتج 16. بما أن 42 = 16، فإن لو4 16 = 2. |
| لو2 16 | نحتاج إلى البحث عن الأُس الذي عند رفع الأساس 2 إليه يكون الناتج 16. بما أن 24 = 16، فإن لو2 16 = 4. |
| لو6 216 | نحتاج إلى البحث عن الأُس الذي عند رفع الأساس 6 إليه يكون الناتج 216. بما أن 63 = 216، فإن لو6 216 = 3. |
| لو5 (1/125) | نحتاج إلى البحث عن الأُس الذي عند رفع الأساس 5 إليه يكون الناتج 1/125. بما أن 1/125 = 5-3، فإن لو5 (1/125) = -3. |
| لو(1/3) 81 | نحتاج إلى البحث عن الأُس الذي عند رفع الأساس 1/3 إليه يكون الناتج 81. بما أن (1/3)-4 = 81، فإن لو(1/3) 81 = -4. |
| لو(2/3) (8/27) | نحتاج إلى البحث عن الأُس الذي عند رفع الأساس 2/3 إليه يكون الناتج 8/27. بما أن (2/3)3 = 8/27، فإن لو(2/3) (8/27) = 3. |
مثال 2: ما هو ناتج اللوغاريتمات الآتية؟
- لو4 256
- لو5 (0.0016)
- لو3 729
- لو2 (0.015625)
الحلول:
| المسألة | الحل |
|---|---|
| لو4 256 | بما أن 44 = 256، فإن لو4 256 = 4. |
| لو5 (0.0016) | بما أن (1/5)4 = 0.0016، فإن لو5 (0.0016) = -4. |
| لو3 729 | بما أن 36 = 729، فإن لو3 729 = 6. |
| لو2 (0.015625) | بما أن (1/2)6 = 0.015625، فإن لو2 (0.015625) = -6. |
مثال 3: بسّط كل ممّا يلي:
- لو4 (س3 ص5)
- لو (س9 ص5 / ل3)
- لوهـ √(س × ص)
- لو3 ((س + ص)2 / (س2 + ص2))
الحلول:
| المسألة | الحل |
|---|---|
| لو4 (س3 ص5) | 3 لو4 س + 5 لو4 ص |
| لو (س9 ص5 / ل3) | 9 لو س + 5 لو ص – 3 لو ل |
| لوهـ √(س × ص) | (1/2) (لوهـ س + لوهـ ص) |
| لو3 ((س + ص)2 / (س2 + ص2)) | 2 لو3 (س + ص) – لو3 (س2 + ص2) |
مثال 4: اكتب كلًا من اللوغاريتمات الآتية على شكل لوغاريتم واحد:
- 7 لو12 س + 2 لو12 ص
- 3 لو س – 6 لو ص
- 5 لوهـ (س + ص) – 2 لوهـ ص – 8 لوهـ س
الحلول:
| المسألة | الحل |
|---|---|
| 7 لو12 س + 2 لو12 ص | لو12 (س7 × ص2) |
| 3 لو س – 6 لو ص | لو (س3 / ص6) |
| 5 لوهـ (س + ص) – 2 لوهـ ص – 8 لوهـ س | لوهـ ((س + ص)5 / (ص2 × س8)) |
مثال 5: ما هو ناتج اللوغاريتم الآتي: لو7 118؟
الحل:
نستخدم خاصية تغيير الأساس: لو7 118 = لو10 118 / لو10 7 = 2.07/0.845 = 2.45.
مثال 6: باستخدام خصائص اللوغاريتم جد ناتج المعادلة اللوغاريتمية الآتية: لو6(ن-3) + لو6(ن+2) = لو633؟
الحل:
بما أن لو633 = 1. فان لو6(ن-3) + لو6(ن+2) = لو6(ن-3)(ن+2) = 1 . اذن (ن-3)(ن+2) = 6. اذن ن2-ن-6=6 و بالتالي ن2-ن-12=0
(ن-4)(ن+3)=0 بالتالي ن =4 او ن=-3 و ن =4 هي الإجابة الصحيحة
مثال 7: ما هو حل المعادلة اللوغاريتمية: لوس125×5√= 7؟
الحل:
بتحويل المعادلة الى معادلة اسية س7= 125×5√ = 5×5×5×5√ =
(5√×5√)×(5√×5√)×(5√×5√)×5√ = (5√)7 اذن س = 5√
المصادر
- مصادر متنوعة من مواقع تعليمية متخصصة في الرياضيات.
