تفسير الأعداد إلى مكوناتها الأولية

مقدمة حول تحليل الأعداد الأولية

الأعداد الأولية، هي أعداد صحيحة موجبة أكبر من الواحد، لا تقبل القسمة إلا على نفسها وعلى الواحد. أمثلة على ذلك: 2، 3، 5، 7، 11، 13، 17، 19، 23. وبالتالي، هي الأعداد التي تمتلك عاملين فقط، هما العدد نفسه والرقم واحد. يُعرف تحليل العدد إلى عوامله الأولية بأنه إيجاد الأعداد الأولية التي إذا ضربت ببعضها تعطي العدد الأصلي. في هذه العملية، نتجاهل الرقم واحد ولا نعتبره من العوامل الأولية.

الأعداد التي تنتج عن ضرب أعداد صحيحة أخرى تسمى أعدادًا مركبة. أما الأعداد الصحيحة التي تضرب ببعضها للحصول على الأعداد المركبة، فتسمى عوامل. هذه العوامل قد تكون أعدادًا أولية أو غير أولية.

الأسلوب المعتاد لتفكيك العدد إلى عوامله

في هذه الطريقة، نبدأ بتقسيم العدد على أصغر عدد أولي ممكن، أو على أي عدد أولي آخر نجده مناسبًا. نستمر في القسمة على الأعداد الأولية المتاحة حتى نصل إلى آخر عدد أولي. إليك مثال توضيحي:

مثال: حلل العدد 12 إلى عوامله الأولية.

1. نقسم على العدد الأولي 2، لأن 12 عدد زوجي: 12 ÷ 2 = 6. إذن، 2 هو أول عامل أولي للعدد 12.
2. العدد 6 ليس أوليًا، لذا نقسمه على العدد الأولي 2: 6 ÷ 2 = 3. العدد 3 أولي، لذا نتوقف هنا. إذن، 2 و 3 هما عوامل أولية للعدد 12.
3. العوامل الأولية للعدد 12 هي: 2 × 2 × 3 = 12.

يمكن تمثيل ذلك كالتالي:

12 ÷ 2

6 ÷ 2

3 ÷ 3

1

استخدام طريقة الشجرة في تحليل الأعداد

طريقة الشجرة تعتمد على مخطط لتجزئة الأعداد بهدف الوصول إلى عواملها الأولية. نبدأ بإيجاد عددين حاصل ضربهما هو العدد المطلوب تحليله، ثم نستمر في تجزئة كل عدد غير أولي حتى نصل إلى جميع الأعداد الأولية.

مثال: حلل العدد 24 إلى عوامله الأولية.

1. نجد عددين حاصل ضربهما 24، مثل 2 × 12.
2. العدد 12 غير أولي، لذا نجد عددين حاصل ضربهما 12، مثل 3 × 4.
3. العدد 4 غير أولي، لذا نجد عددين حاصل ضربهما 4، وهما 2 × 2. هذان العددان أوليان، لذا نتوقف هنا.
4. العوامل الأولية للعدد 24 هي: 2 × 2 × 2 × 3 = 24.

يمكن تمثيل ذلك كالتالي:

24 ← 2 × 12 ← 2 × 3 × 4 ← 2 × 3 × 2 × 2

إرشادات عند تجزئة الأعداد إلى عناصرها الأولية

هذه بعض القواعد التي تساعد في إيجاد الأعداد التي يمكن قسمة العدد المطلوب تحليله عليها بدون باقٍ:

• إذا كان العدد زوجيًا، فإنه يقبل القسمة على 2.
• إذا كانت خانة الآحاد للعدد هي 0 أو 5، فإنه يقبل القسمة على 5.
• إذا كان مجموع أرقام العدد يقبل القسمة على 3، فإنه يقبل القسمة على 3.
• إذا لم يقبل العدد القسمة على 2، 3، أو 5، نبحث عن أعداد أولية أكبر مثل 7، 11، 13، وهكذا.

نماذج محلولة في تجزئة الأعداد إلى عناصرها الأولية

مثال 1: حلل العدد 35 إلى عوامله الأولية.

الحل باستخدام الطريقة التقليدية:

بما أن خانة الآحاد للعدد 35 هي 5، فهو يقبل القسمة على 5.

نقسم 35 على 5: 35 ÷ 5 = 7. العدد 7 أولي.

إذن، العوامل الأولية للعدد 35 هي: 5 × 7 = 35.

الحل باستخدام طريقة الشجرة:

نجد عددين حاصل ضربهما 35، وهما 5 × 7. كلا العددين أوليان.

إذن، العوامل الأولية للعدد 35 هي: 5 × 7 = 35.

35 ← 5 × 7

مثال 2: حلل العدد 54 إلى عوامله الأولية.

الحل باستخدام الطريقة التقليدية:

العدد 54 زوجي، لذا نقسمه على 2: 54 ÷ 2 = 27.

العدد 27 ليس أوليًا، ومجموع أرقامه (2 + 7 = 9) يقبل القسمة على 3، لذا نقسمه على 3: 27 ÷ 3 = 9.

العدد 9 ليس أوليًا، لذا نقسمه على 3: 9 ÷ 3 = 3.

العدد 3 أولي.

إذن، العوامل الأولية للعدد 54 هي: 2 × 3 × 3 × 3 = 54.

الحل باستخدام طريقة الشجرة:

نجد عددين حاصل ضربهما 54، مثل 3 × 18.

العدد 18 ليس أوليًا، لذا نجد عددين حاصل ضربهما 18، وهما 2 × 9.

العدد 9 ليس أوليًا، لذا نجد عددين حاصل ضربهما 9، وهما 3 × 3.

إذن، العوامل الأولية للعدد 54 هي: 2 × 3 × 3 × 3 = 54.

54 ← 3 × 18 ← 3 × 2 × 9 ← 3 × 2 × 3 × 3

مثال 3: حلل العدد 360 إلى عوامله الأولية.

الحل باستخدام الطريقة التقليدية:

العدد 360 زوجي، لذا نبدأ بأصغر عدد أولي ممكن له وهو العدد 2.

نقسم العدد 360 على 2 كالتالي: 360/2= 180.

العدد 180 عدد غير أولي، لذا يجب قسمته أيضًا على عدد أولي آخر وهو العدد 2؛ لأنّ العدد 180 عدد زوجي أيضًا. نقسم العدد 180 على العدد 2 كالتالي: 180/2= 90.

العدد 90 عدد غير أولي، لذا يجب قسمته أيضًا على عدد أولي آخر وهو العدد 2، كالتالي: 90/2=45.

العدد 45 عدد غير أولي، لذا يجب قسمته أيضًا على عدد أولي آخر وهو العدد 3 كالتالي: 45/3=15.

العدد 15 عدد غير أولي، لذا يجب قسمته أيضًا على عدد أولي آخر وهو العدد 3، كالتالي: 15/3=5.

العدد 5 عدد أولي، نتوقف هنا.

إذن، العوامل الأولية للعدد360هي:2×2×2×3×3×5 = 360.

الحل باستخدام طريقة الشجرة:

نجد عددين نتيجة حاصل ضربهما تساوي 360، وهما (5×72). العدد 360 يبدأ بصفر في خانة الآحاد، وحسب القاعدة فإنّ العدد 360 يقبل القسمة على 5 بالتأكيد.

العدد 72 عدد غير أولي لذا نبحث عن عددين حاصل ضربهما 72 وهما (2×36) .

العدد 36 عدد غير أولي، لذا نبحث عن عددين حاصل ضربهما العدد 36 وهما (2×18).

العدد 18 عدد غير أولي، لذا نبحث عن عددين حاصل ضربهما العدد 18 وهما (2×9).

العدد 9 عدد غير أولي، لذا نبحث عن عددين حاصل ضربهما العدد 9 وهما (3×3).

إذن، العوامل الأولية للعدد360هي:5×2×2×2×3×3 = 360.

360 ← 5×72← 5×2×36← 5×2×2×18← 5×2×2×2×9← 5×2×2×2×3×3

مثال 4: حلل العدد 509 إلى عوامله الأولية.

الحل:

إذا لم نستطع تحديد أن العدد الكبير هو عدد أولي أم لا نتبع الخطوات التالية:

نُطبق جميع القواعد عليه إذا حقق أحد القواعد فهو عدد غير أولي ويجب تحليله.

إذا لم يُحقق أي قاعدة من القواعد نأخذ الجذر التربيعي للعدد، ثم نُقسم العدد على جميع الأعداد الأولية التي تقل عن قيمة الجذر التربيعي.

إذا قبل العدد القسمة على أي عدد أولي أقل من قيمة الجذر التربيعي، فهو عدد ليس أوليًا ويجب تحليله إلى عوامله الأولية.

إذا لم يقبل العدد القسمة على أي عدد أقل من قيمة الجذر، إذًا العدد أولي ولا يُمكن تحليله.

نتحقق فيما إذا كان العدد 509 عددًا أوليًا أم لا:

نبدأ بأول خطوة: نُلاحظ أن العدد 509 ليس عددًا زوجيًا، ولا ينتهي بصفر أو 5، كما أن مجموع جميع خاناته يساوي 14، والعدد 14 لا يقبل القسمة على 3.

نأخذ الجذر التربيعي للعدد 509: (509√ = 22.56).

نُجرب قسمة العدد 509 على جميع الأعداد الاولية التي تقل عن 22.56:

• 509÷2= 254.5، لا يقبل القسمة على 2.
• 509÷3= 169.66، لا يقبل القسمة على 3.
• 509÷5= 101.8، لا يقبل القسمة على 5.
• 509÷7= 72.71، لا يقبل القسمة على 7.
• 509÷11= 46.27، لا يقبل القسمة على 11.
• 509÷13= 39.15، لا يقبل القسمة على 13.
• 509÷17= 29.9، لا يقبل القسمة على 17.
• 509÷19= 26.78، لا يقبل القسمة على 19.

نُلااحظ أنّ العدد لم يقبل القسمة على أي عدد أولي أقل من 22.56.

وبالتالي العدد 509 عددًا أوليًا لا يُمكن تحليله.