المحتويات:
كيفية التعرف على المقدار التكعيبي
المقدار التكعيبي عبارة عن تعبير رياضي يتكون من حدين أو أكثر، ويتم رفعه إلى القوة الثالثة. هذا يعني أن المقدار مضروب في نفسه ثلاث مرات. الشكل العام للمقدار التكعيبي هو: (أ±ب)3. لفهم كيفية التعامل مع هذا النوع من المقادير، يجب معرفة كيفية فك هذا القوس.
آلية تحليل المقادير التكعيبية
تحليل المقدار التكعيبي، أو ما يعرف بفك القوس التكعيبي، يعني ضرب المقدار في نفسه ثلاث مرات. رياضياً، يتم التعبير عن ذلك كما يلي: (أ±ب)3 = (أ±ب)×(أ±ب)×(أ±ب). تعتمد هذه العملية على تطبيق خاصية التوزيع. يمكن تلخيص الخطوات بالتفصيل كما يلي:
-
الخطوة الأولى: ضرب القوسين الأولين:
يتم ضرب أول قوسين ببعضهما البعض باستخدام خاصية التوزيع. هذا يعني ضرب كل حد في القوس الأول بكل حد في القوس الثاني. لتبسيط العملية، يمكن استخدام القواعد التالية:
- (أ+ب)×(أ+ب) = (مربع الحد الأول + 2×الحد الأول×الحد الثاني + مربع الحد الثاني): (أ+ب)×(أ+ب) = أ2+2×أ×ب+ب2.
- (أ-ب)×(أ-ب) = (مربع الحد الأول – 2×الحد الأول×الحد الثاني + مربع الحد الثاني): (أ-ب)×(أ-ب) = أ2-2×أ×ب+ب2.
-
الخطوة الثانية: ضرب الناتج بالقوس الثالث:
بعد الحصول على ناتج ضرب القوسين الأولين، يتم ضرب الناتج مرة أخرى في (أ+ب). هذه الخطوة تعطينا الصيغة النهائية للمقدار التكعيبي:
(أ+ب) × (أ2+2×أ×ب + ب2)= أ3+3×أ2×ب + 3×أ×ب2+ ب3.
بناءً على ما سبق، يمكن صياغة القواعد العامة لتحليل المقدار التكعيبي كالتالي:
- (أ+ب)3= (مكعب الحد الأول) + (3×مربع الحد الأول×الحد الثاني) + (3×الحد الأول×مربع الحد الثاني) + (مكعب الحد الثاني) = أ³+(3×أ²×ب) + (3×أ×ب²) + ب³.
- (أ-ب)3= (مكعب الحد الأول) – (3×مربع الحد الأول×الحد الثاني) + (3× الحد الأول×مربع الحد الثاني) – (مكعب الحد الثاني) = أ³ – (3×أ²×ب) + (3×أ×ب²) – ب³.
نماذج محلولة لتحليل المقادير التكعيبية
لتوضيح كيفية تطبيق القواعد السابقة، إليكم بعض الأمثلة المحلولة:
المثال الأول: حلّل القوس التكعيبي الآتي: (س+1)3.
الحل: بتطبيق القاعدة المذكورة سابقاً يكون التحليل كالآتي: س3+3س2+ 3س+1
المثال الثاني: حلّل القوس التكعيبي الآتي: (أ-2ب)3.
الحل: بتطبيق القاعدة المذكورة سابقاً يكون التحليل كالآتي: أ3-6أ2ب +12أ×ب2-8ب3.
المثال الثالث: اكتب ما يلي بأبسط صورة: (س+ص)3 + (س-ص)3.
الحل:
بتطبيق القاعدة المذكورة سابقاً يكون تحليل القوس الأول والثاني كالآتي:
- (س+ص)3 = س3 + (3×س2×ص) + (3×س×ص2) + ص3.
- (س-ص)3 = س3– (3×س2×ص) + (3×س×ص2) – ص3.
(س+ص)3 + (س-ص)3 = س3 + (3×س2×ص) + (3×س×ص2) + ص3 + س3– (3×س2×ص) + (3×س×ص2) – ص3 = 2س3 + 6×س×ص2.
المثال الرابع: حلّل القوس التكعيبي الآتي: (2س+1)3.
الحل: بتطبيق القاعدة المذكورة سابقاً يكون تحليل القوس كالآتي:(2س+1)3 = 8س3 + 12س2 + 6س+ 1.
المثال الخامس: حلّل القوس التكعيبي الآتي: (2س-3ص)3.
الحل: بتطبيق القاعدة المذكورة سابقاً يكون تحليل القوس كالآتي:(2س-3ص)3 = 8س3 – 36س2ص+ 54س ص2 – 27ص3.
التمييز بين المقدار التكعيبي وتحليل الفرق بين مكعبين
يجب التفريق بين تحليل الفرق بين مكعبين (أ3– ب3)، أو تحليل مجموع المكعبين، وتحليل المقدار التكعيبي (أ±ب)3. كما ذكرنا سابقاً، يتم تحليل المقدار التكعيبي باستخدام القواعد المذكورة. أما تحليل الفرق بين مكعبين، ومجموع المكعبين، فيتم باتباع القواعد التالية:
-
فتح قوسين:
في القوس الأول، يتم وضع الجذر التكعيبي للحد الأول مطروحاً منه الجذر التكعيبي للحد الثاني (أ-ب).
-
القوس الثاني:
يتم وضع مربع الحد الأول في القوس الثاني، ثم الحد الأول مضروباً بالحد الثاني، ثم مربع الحد الثاني: (أ2+ أ×ب + ب2).
حيث تكون إشارة الحد الأوسط دائماً عكس إشارة (ب)، أما إشارة الحد الأخير فدائماً موجبة، لتكون النتيجة في النهاية كما يلي:
- (أ3– ب3) = (أ-ب)(أ2+ أ×ب + ب2).
- (أ3+ب3) = (أ+ب)(أ2– أ×ب + ب2).
مثال: حلّل ما يلي: (س3-8).
تطبيق القاعدة المذكورة سابقاً ليكون التحليل كالآتي: (س-2)(س2+2س+4).
مثال: حلّل ما يلي: 27ص3+س3.
تطبيق القاعدة المذكورة سابقاً ليكون التحليل كالآتي: (3ص+س)(9ص2-3س ص+س2).
