المحتويات
فهم المقادير التربيعية
المقادير التربيعية هي تعبيرات رياضية تأتي في الصورة العامة: أس2 + ب س + جـ = 0، حيث أ، ب، وجـ هي ثوابت، وس هو المتغير. تعتبر هذه المقادير أساسًا هامًا في الجبر، وتظهر في العديد من التطبيقات الرياضية والهندسية. يهدف تبسيط هذه المقادير إلى إيجاد قيم المتغير س التي تحقق المعادلة، أو إعادة كتابة المقدار في صورة أبسط وأكثر قابلية للتحليل.
التحليل إلى العوامل: طريقة سهلة
التحليل إلى العوامل هو أحد الأساليب الشائعة لتبسيط المقادير التربيعية. تعتمد هذه الطريقة على إيجاد عاملين (أو أكثر) بحيث يكون حاصل ضربهما يساوي المقدار الأصلي. تعتبر هذه الطريقة فعالة بشكل خاص عندما يكون المقدار التربيعي قابلاً للتحليل بسهولة.
خطوات التحليل
لتحليل مقدار تربيعي إلى عوامله، يمكن اتباع الخطوات التالية:
- الخطوة الأولى: إيجاد عددين حاصل ضربهما يساوي (أ × جـ) ومجموعهما يساوي ب. على سبيل المثال:
في المقدار: 2س2 + 7س + 3، نجد أن:- أ × جـ = 2 × 3 = 6
- ب = 7
عوامل العدد 6 هي: 1، 2، 3، 6. العددان المطلوبان هما 1 و 6، حيث أن 1 × 6 = 6 و 1 + 6 = 7.
- الخطوة الثانية: إعادة كتابة الحد الأوسط باستخدام العددين اللذين تم إيجادهما:
2س2 + 6س + س + 3 - الخطوة الثالثة: استخراج العامل المشترك من كل حدين:
من الحدين الأولين (2س2 + 6س) يصبح لدينا: 2س(س + 3)
من الحدين الأخيرين (س + 3) يبقى كما هو: (س + 3)
إذًا، يصبح المقدار: 2س(س + 3) + (س + 3) - الخطوة الرابعة: استخراج العامل المشترك بين الحدين الناتجين:
في هذه الحالة، العامل المشترك هو (س + 3).
وبالتالي، يصبح الناتج النهائي: (2س + 1)(س + 3)للتحقق من صحة الحل، يمكن ضرب العاملين معًا:
(2س + 1)(س + 3) = 2س2 + 6س + س + 3 = 2س2 + 7س + 3
إكمال المربع: أسلوب بديل
إكمال المربع هو أسلوب آخر لتبسيط المقادير التربيعية، خاصة عندما يكون التحليل إلى العوامل صعبًا أو غير ممكن. تعتمد هذه الطريقة على تحويل المقدار التربيعي إلى مربع كامل، ثم إيجاد قيمة المتغير س.
خطوات إكمال المربع
لإكمال المربع، يمكن اتباع الخطوات التالية:
- الخطوة الأولى: كتابة المقدار التربيعي بالصورة العامة: أس2 + ب س + جـ = 0.
- الخطوة الثانية: إيجاد القيمة التي يجب إضافتها لإكمال المربع، وهي: (ب / 2)2.
- الخطوة الثالثة: إضافة وطرح القيمة التي تم إيجادها من المقدار التربيعي: أس2 + ب س + (ب / 2)2 – (ب / 2)2 + جـ = 0.
- الخطوة الرابعة: إعادة ترتيب المقدار بحيث يظهر المربع الكامل: (س + ع)2 – جـ = 0، حيث ع هو العدد الناتج عن حل الحدود من إضافة المربع الكامل سابقًا.
أمثلة محلولة على تبسيط المقادير التربيعية
مثال 1:
ما حل المقدار التربيعي التالي: س2 + 16 = 10س؟
الحل:
- إعادة كتابة المعادلة بالصورة الصحيحة: س2 – 10س + 16 = 0
- تحليل المقدار إلى العوامل: (س – 2)(س – 8)
- إيجاد قيم س:
- س – 2 = 0 => س = 2
- س – 8 = 0 => س = 8
مثال 2:
ما ناتج تبسيط المقدار التربيعي التالي: س2 + 5س = 0؟
الحل:
- استخراج العامل المشترك س: س(س + 5)
- إذًا، ناتج التحليل هو: س(س + 5)
مثال 3:
أوجد حل المعادلة التربيعية س2 + 4س = 16 بطريقة إكمال المربع.
الحل:
- ترتيب المعادلة: س2 + 4س – 16 = 0
- إيجاد قيمة (ب / 2)2 = (4 / 2)2 = 4
- إضافة وطرح القيمة: س2 + 4س + 4 – 4 – 16 = 0
- إعادة الترتيب: (س2 + 4س + 4) – 20 = 0
- (س + 2)2 = 20
- أخذ الجذر التربيعي: س + 2 = ±√20
- س = -2 ± √20 => س ≈ 2.47 أو س ≈ -6.47
مثال 4:
أوجد حل المعادلة التربيعية س2 + 6س – 2 = 0 بطريقة إكمال المربع.
الحل:
- كتابة المعادلة: س2 + 6س – 2 = 0
- إيجاد قيمة (ب / 2)2 = (6 / 2)2 = 9
- إضافة وطرح القيمة: س2 + 6س + 9 – 9 – 2 = 0
- إعادة الترتيب: (س2 + 6س + 9) – 11 = 0
- (س + 3)2 = 11
- أخذ الجذر التربيعي: س + 3 = ±√11
- س = -3 ± √11
المراجع
- “Factoring Quadratics”, www.mathsisfun.com
- “Completing the Square”, MATHISFUN
- “Solving Quadratics by Factoring”, www.mesacc.edu
- “Solving quadratics by factoring”, www.khanacademy.org
