إيجاد حلول للمعادلات التفاضلية المتجانسة من الدرجة الثانية

ما هي المعادلات التفاضلية المتجانسة؟

تعتبر المعادلة التفاضلية متجانسة إذا كان أحد طرفيها يساوي صفراً. وتأخذ الصورة العامة التالية:

A d²y/dx² + B dy/dx + C y = 0

حيث أن A و B و C ثوابت. الفكرة الأساسية في حل هذا النوع من المعادلات يعتمد على خاصية مميزة للدالة الأسية.

آلية إيجاد الحلول للمعادلات التفاضلية المتجانسة

تعتمد طريقة الحل على فرض حل على شكل دالة أسية، ثم إيجاد قيم الثوابت التي تحقق المعادلة. تتلخص الخطوات فيما يلي:

1. الفرضية: نفترض أن الحل يأخذ الشكل التالي: y = e^rx
2. إيجاد المشتقات: نحسب المشتقة الأولى والثانية للدالة المفترضة:
   • dy/dx = r e^rx
   • d²y/dx² = r² e^rx
3. التعويض في المعادلة الأصلية: نعوض المشتقات في المعادلة التفاضلية الأصلية.
4. إيجاد الجذور: نحصل على معادلة تربيعية بدلالة r، نقوم بحلها لإيجاد جذورها.
5. التعويض بالجذور: نعوض قيم الجذور التي تم الحصول عليها في الدالة الأسية المفترضة.
6. الحل العام: الحل العام للمعادلة هو عبارة عن تركيبة خطية من الحلول الجزئية التي تم الحصول عليها.

بشكل عام، إذا كانت الجذور r₁ و r₂ ، فإن الحل العام يكون على الصورة:

y = A e^r₁x + B e^r₂x

نماذج محلولة لمعادلات تفاضلية متجانسة من الدرجة الثانية

سنستعرض الآن بعض الأمثلة لتوضيح طريقة الحل:

مثال 1:

d²y/dx² + 5 dy/dx + 6 y = 0

الحل:

نعوض بالفرضيات: r² e^rx + 5 r e^rx + 6 e^rx = 0

نأخذ e^rx عامل مشترك: e^rx ( r² + 5 r + 6 ) = 0

نحل المعادلة التربيعية: r² + 5 r + 6 = 0

( r + 2 ) ( r + 3 ) = 0

إذن: r = -2 أو r = -3

الحل العام: y = C₁ e^-2x + C₂ e^-3x

مثال 2:

d²y/dx² – 8 dy/dx + 16 y = 0

الحل:

r² e^rx – 8 r e^rx + 16 e^rx = 0

e^rx ( r² – 8 r + 16 ) = 0

r² – 8 r + 16 = 0

( r – 4 ) ( r – 4 ) = 0

إذن: r = 4 (جذر مكرر)

بما أن الجذر مكرر، يكون الحل العام :

y = C₁ e^4x + C₂ xe^4x

مثال 3:

9d²y/dx² + 12 dy/dx + 29 y = 0

الحل:

9r² e^rx + 12 r e^rx + 29 e^rx = 0

e^rx ( 9 r² + 12 r + 29 ) = 0

9r² + 12 r + 29 = 0

نستخدم القانون العام لحل المعادلة التربيعية للحصول على جذور تخيلية:

r = – ( 2/3 ) + ( 5/3 )i أو r = – ( 2/3 ) – ( 5/3 )i

عندما تكون الجذور تخيلية، يكون الحل العام على الصورة:

y = e^{( -2/3 )x} [ A sin ( ( 5/3 ) x ) + B cos ( ( 5/3 )x ) ]

مصادر ومراجع

• Second Order Differential Equations,mathsisfun