نظرة شاملة حول المعادلات التفاضلية المتجانسة

تعريف المعادلات التفاضلية المتجانسة

تُعرّف المعادلات التفاضلية بأنها تلك المعادلات التي تتضمن مشتقات لدالة ما، والتي تعتمد على مجموعة من المتغيرات. وتنقسم هذه المعادلات إلى نوعين رئيسيين: المعادلات التفاضلية المتجانسة والمعادلات التفاضلية غير المتجانسة.

المعادلات التفاضلية المتجانسة، على وجه الخصوص، هي المعادلات التي تكون فيها درجة كل من المتغيرين (x, y) متساوية في جميع الحدود. بالإضافة إلى ذلك، يمكن كتابة هذه المعادلات بالصيغة التالية:

f (kx, ky) = k^N * f (x, y)

حيث يمثل (k) ثابتًا لا يساوي صفرًا. وتأخذ الصورة العامة لهذه المعادلات الشكل التالي:

dy/dx = f(x,y)

أمثلة على معادلات تفاضلية متجانسة:

• f( x,y ) = 2x – 8y
• f( x,y ) = sin(x/y)
• f( x,y ) = x² + 8xy+ 9y²
• f( x,y ) = (x² + y²) / (xy)

للتحقق من أن معادلة تفاضلية معينة هي معادلة متجانسة، يجب أن يكون الناتج عند كتابتها بالصيغة f (kx, ky) هو k^N * f (x, y). فيما يلي طرق التحقق من المعادلات المذكورة أعلاه:

• f (kx, ky) = 2kx – 8ky، ومنها: (f (kx, ky) = k (2x – 8y.
• f (kx, ky) = sin (kx/ky)، ومنها: f (kx, ky) = sin (x/y).
• f (kx, ky) = k²*x² + 8 (kx) (ky) + 9*k²*y²، ومنها: (f (kx, ky) =k²* (x² + 8xy+ 9y².
• f (kx, ky) = (k²*x² + k²*y²) / (k²*xy)، ومنها: f (kx, ky) = (x² + y²) / (xy).

أسلوب معالجة المعادلات التفاضلية المتجانسة

يتطلب حل المعادلات التفاضلية المتجانسة إجراء عمليات التكامل، ولكن يجب أولاً اتباع الخطوات التالية:

1. فصل المتغيرات عن المشتقات في المعادلة، ووضع كل منهما على جانب مختلف لتصبح المعادلة في الصورة dy/dx = f (x, y).
2. كتابة المتغيرات على الصورة y = v×x، ثم اشتقاقها لتصبح على الصورة dy/dx = d (v×x) /dx، وبالتالي:
   
   dy/dx = v×dx/dx + x×dv/dx
   
   dy/dx = v + x×dv/dx
3. كتابة المعادلة على الصورة g (v) = v + x×dv/dx، وبالتالي: g (v) – v = x×dv/dx.
4. فصل المتغيرات مرة أخرى لتصبح dv/ (g (v) -v) = dx/x.
5. إجراء التكامل لكلا طرفي المعادلة وحلها.
6. استبدال قيمة (v) بالصيغة v = y/x في الناتج النهائي.

تطبيق عملي: حل معادلة تفاضلية متجانسة

المطلوب: إيجاد حل المعادلة التالية: dy/dx = (x² + y²) / (xy).

الحل:

1. فصل الحدود في المعادلة:
   
   (dy/dx = (x²/ xy) + (y² / xy
   
   dy/dx = ( x/ y ) + ( y/x
   
   dy/dx = (y/ x) ^(-1) + (y/x؛ لكتابة الحدود على صورة (y/x).
2. استبدال (y) بالصيغة y = v×x، و dy/dx = v + x×dv/dx وتعويضها في المعادلة.
   
   v + x×dv/dx = v^(-1) +v
   
   x×dv/dx = v^(-1)
3. فصل المتغيرات:
   
   v ×dv = (1/x)×dx
4. إجراء التكامل لطرفي المعادلة:
   
   v⁽²⁾ / 2 = ln (x) + c؛ حيث إن c هو ثابت ناتج عن التكامل.
5. إرجاع v = y/x لتصبح:
   
   (y/x)⁽²⁾ = 2×( ln(x) +c ))

الأهمية والاستخدامات المتنوعة للمعادلات التفاضلية

تعتبر المعادلات التفاضلية أداة أساسية في العديد من التطبيقات العملية في الحياة اليومية. فهي تستخدم على نطاق واسع في مجالات متنوعة مثل الهندسة، والفيزياء، والعلوم، وغيرها. تمثل الدالة في هذه المعادلات عملية حسابية، بينما تصف المشتقات معدل التغير في أداء هذه العملية.

فيما يلي بعض الاستخدامات الهامة للمعادلات التفاضلية:

• حساب التغيرات في درجات الحرارة.
• وصف عملية تفريغ المكثفات: R×dQ/dt + Q/C = 0.
• تحديد تغير الضغط الجوي مع الارتفاع: [dP/dh = -p× [(m×g) /kT.
• إيجاد الربح والخسارة المتوقعة لمستقبل الاستثمار في الأعمال التجارية.

قال تعالى: ﴿وَمَا أُوتِيتُم مِّنَ الْعِلْمِ إِلَّا قَلِيلًا﴾ [الإسراء: 85].

قال رسول الله صلى الله عليه وسلم: “من سلك طريقا يلتمس فيه علما، سهل الله له به طريقا إلى الجنة”.

المراجع

1. “Homogeneous Differential Equation”, cuemath
2. “Homogeneous Differential Equation”, byjus
3. “Homogeneous Differential Equations”, math’s is fun
4. “Applications of Derivatives”, cuemath
5. “Differential Equation Applications”, hyperphysics