مقارنة بين التباين، الانحراف القياسي، والخطأ القياسي

جدول المحتويات

• ما هو التباين؟
• ما هو الانحراف القياسي؟
• ما هو الخطأ القياسي؟
• المراجع

ما هو التباين؟

يُعرف التباين (Variance) بأنه مقياس لمدى انتشار مجموعة من البيانات حول متوسطها الحسابي. بشكل أكثر تحديدا، هو متوسط مربعات الفروق بين كل قيمة في المجموعة والمتوسط الحسابي. يساعد التباين في فهم مدى تجانس أو تشتت البيانات قيد الدراسة.

لحساب التباين، يتم اتباع الخطوات التالية:

1. حساب المتوسط الحسابي للبيانات.
2. طرح المتوسط الحسابي من كل قيمة بيانات فردية.
3. تربيع النتيجة لكل قيمة بيانات فردية.
4. جمع كافة القيم المربعة.
5. قسمة المجموع على عدد القيم (في حالة العينة، يتم القسمة على عدد القيم ناقص واحد).

مثال:

لنفترض أن لدينا مجموعة البيانات التالية: (4, 8, 6, 5, 3). لحساب التباين:

1. المتوسط الحسابي = (4 + 8 + 6 + 5 + 3) / 5 = 5.2
2. الفروق بين كل قيمة والمتوسط: (-1.2, 2.8, 0.8, -0.2, -2.2)
3. تربيع الفروق: (1.44, 7.84, 0.64, 0.04, 4.84)
4. مجموع مربعات الفروق: 1.44 + 7.84 + 0.64 + 0.04 + 4.84 = 14.8
5. التباين = 14.8 / (5-1) = 3.7 (باعتبار أنها عينة)

ما هو الانحراف القياسي؟

يعتبر الانحراف القياسي (Standard Deviation) مقياساً لتشتت البيانات حول المتوسط. بمعنى آخر، يوضح مدى قرب أو بعد القيم عن المتوسط الحسابي. قيمة صغيرة للانحراف القياسي تعني أن البيانات متقاربة من المتوسط، بينما قيمة كبيرة تشير إلى تشتت كبير.

لحساب الانحراف القياسي:

1. حساب التباين للبيانات.
2. أخذ الجذر التربيعي للتباين.

الانحراف القياسي هو ببساطة الجذر التربيعي للتباين.

مثال:

باستخدام المثال السابق حيث كان التباين 3.7، فإن الانحراف القياسي سيكون:

الانحراف القياسي = √3.7 ≈ 1.92

ما هو الخطأ القياسي؟

الخطأ القياسي (Standard Error) هو تقدير للانحراف القياسي لتوزيع العينات للمتوسط الحسابي. بعبارة أخرى، يقيس دقة تقدير المتوسط الحسابي للعينة كتقدير للمتوسط الحسابي للمجتمع بأكمله. الخطأ القياسي مهم لأنه يساعد في تحديد مدى تمثيل العينة للمجتمع الأكبر.

لحساب الخطأ القياسي:

1. حساب الانحراف القياسي للعينة.
2. قسمة الانحراف القياسي على الجذر التربيعي لحجم العينة.

كلما زاد حجم العينة، قل الخطأ القياسي، مما يشير إلى أن متوسط العينة هو تقدير أكثر دقة لمتوسط المجتمع.

مثال:

بافتراض أن لدينا عينة بحجم 25 ولديها انحراف قياسي قدره 10. الخطأ القياسي سيكون:

الخطأ القياسي = 10 / √25 = 10 / 5 = 2

المراجع

• “variance”,britannica
• “Variance & Standard Deviation”,sciencebuddies
• “4.5.3 Calculating the variance and standard deviation”,statcan
• “Standard Deviation”,nih
• “Standard Deviation”,cuemath
• “Introduction”,khanacademy
• “Standard Error of the Mean (SEM)”,statisticsbyjim
• “Standard error in statistics”,scribbr
• “Standard Error of the Mean vs. Standard Deviation: The Difference”,investopedia
• “Standard Error”,byjus