قواعد اللوغاريتمات الأساسية: دليل شامل

لوغاريتم العدد واحد

تنص هذه القاعدة على أن لوغاريتم العدد واحد لأي أساس موجب أكبر من واحد يساوي دائمًا صفر. هذا يعود إلى أن أي عدد مرفوع للقوة صفر يعطي واحدًا. يمكن تمثيل ذلك رياضيًا كالتالي: [٢] log_f(1) = 0، حيث (f > 1)

قاعدة الأس واحد

تُحدد هذه القاعدة أن لوغاريتم أي عدد بأساس يساوي هذا العدد يكون الناتج دائمًا واحدًا. لأنّ أي عدد مرفوع للأس واحد يساوي العدد نفسه. التعبير الرياضي لهذه القاعدة هو: [٢] log_f(f) = 1، حيث (f > 1)

قاعدة الأس

تشير هذه القاعدة إلى أن لوغاريتم عدد مرفوع لقوة معينة يساوي حاصل ضرب القوة في لوغاريتم العدد نفسه. بالرموز: [٣] log_f(y^x) = x × log_f(y)

حيث (x، y): أعداد صحيحة موجبة، و(f) عدد صحيح موجب لا يساوي واحد. وبالتالي، لوغاريتم جذر العدد يُحسب كالآتي: [٤] log_f(ⁿ√y) = log_f(y^(1/n)) = (1/n) × log_f(y)

أيضاً، لوغاريتم عدد مرفوع لقوة، حيث يكون أساس اللوغاريتم مساويًا للعدد نفسه، يساوي القوة. وهذا يُشتق من قاعدة الأس مع قاعدة الأس واحد: [٥] log_f(f^x) = x × log_f(f) = x × 1 = x

قاعدة أس اللوغاريتم

تنص هذه القاعدة على أن العدد الأول مرفوع لقوة لوغاريتم العدد الثاني بنفس الأساس يعطي العدد الثاني. يمكن كتابتها رياضيًا كما يلي: [٥] x^(log_x(y)) = y

قاعدة الضرب

لوغاريتم حاصل ضرب عددين يساوي مجموع لوغاريتمي هذين العددين بنفس الأساس. صيغتها الرياضية: [٣] log_f(y × x) = log_f(y) + log_f(x)

حيث (x، y): أعداد صحيحة موجبة، و(f) عدد صحيح موجب لا يساوي واحد.

قاعدة القسمة

لوغاريتم حاصل قسمة عددين يساوي فرق لوغاريتمي هذين العددين بنفس الأساس. ويمكن التعبير عنها رياضيًا كالتالي: [٣] log_f(y ÷ x) = log_f(y) – log_f(x)

حيث (x، y): أعداد صحيحة موجبة، و(f) عدد صحيح موجب لا يساوي واحد.

قاعدة تغيير الأساس

تتيح هذه القاعدة تغيير أساس اللوغاريتم دون تغيير قيمته. فلوغاريتم العدد للأساس الأول يساوي حاصل قسمة لوغاريتم العدد للأساس الثاني على لوغاريتم الأساس الأول للأساس الثاني. بالرموز: [٣] log_f(x) = log_n(x) / log_n(f)

حيث (x، f، n): أعداد صحيحة موجبة، و(f، n): لا تساوي واحد.

قاعدة المعكوس

هذه القاعدة تربط لوغاريتم العدد بلوغاريتم معكوسه. لوغاريتم العدد للأساس الأول هو معكوس لوغاريتم الأساس الأول للعدد. رياضياً: [٣] log_f(x) = 1 / log_x(f)

حيث (x، f): أعداد صحيحة موجبة لا تساوي واحد.