فهم الدوال التربيعية: خصائص وطرق الحل

مقدمة إلى الدوال التربيعية

الدالة التربيعية هي نوع من الدوال الجبرية متعددة الحدود، والتي تتميز بوجود متغير واحد أو أكثر مرفوعًا للأس الثاني كأعلى قوة له. يمكن التعبير عن الدالة التربيعية بالصيغة العامة التالية:

ق(س) = أ × س² + ب × س + ج

حيث أن ‘أ’ و ‘ب’ و ‘ج’ هي معاملات ثابتة تمثل أعدادًا حقيقية، مع شرط أساسي وهو أن قيمة ‘أ’ لا يمكن أن تساوي صفرًا. هذا الشرط ضروري للحفاظ على الدالة كدالة تربيعية فعلية.

تحديد نقطة رأس المنحنى للدالة التربيعية

يمكن تمثيل نقطة الرأس للدالة التربيعية بالصورة التالية:

ص = أ × (س – هـ)² + ك

حيث أن ‘أ’ و ‘هـ’ و ‘ك’ هي أعداد حقيقية، مع التأكيد على أن ‘أ’ لا يساوي صفرًا. يتم حساب قيمة ‘هـ’ و ‘ك’ باستخدام الصيغتين التاليتين:

هـ = – (ب / 2أ)

ك = ق (هـ)

تعتبر قيمة ‘أ’ مهمة لتحديد طبيعة نقطة الرأس؛ فإذا كانت ‘أ’ موجبة، تمثل نقطة الرأس الحد الأدنى للمنحنى، أما إذا كانت ‘أ’ سالبة، فإنها تمثل القمة العظمى للمنحنى.

نطاق وقيم الدوال التربيعية

يُعرف نطاق الدالة التربيعية بأنه مجموعة قيم ‘س’ التي تجعل الدالة مُعرّفة وقابلة للحساب. أما مدى الدالة التربيعية فهو مجموعة قيم ‘ص’ التي تنتج عن تعويض قيم ‘س’ المختلفة في الدالة.

بعبارة أخرى، النطاق هو مجموعة الأعداد الحقيقية (ح)، ويمكن التعبير عنه بالصورة (-∞، ∞). في المقابل، يعتمد المدى على شكل المنحنى وموقع رأسه. لتحديد المدى، نبحث عن أقل وأعلى قيمة ممكنة لـ ق(س) على الرسم البياني.

أساليب متنوعة لحل المعادلات التربيعية

هناك ثلاث طرق رئيسية لإيجاد حلول (جذور) المعادلة التربيعية، وهي: التحليل، استخدام القانون العام، وإكمال المربع. تجدر الإشارة إلى أن للدالة التربيعية جذورًا قد تكون حقيقية أو تخيلية.

سنتناول فيما يلي شرحًا مفصلًا لكل طريقة من هذه الطرق:

الحل عن طريق التحليل

تعتمد هذه الطريقة على إعادة ترتيب المعادلة بحيث تكون جميع الحدود في طرف واحد، ويكون الطرف الآخر مساويًا للصفر. ثم يتم تحليل المعادلة إلى عواملها، وبعد ذلك يتم حل المعادلة عن طريق إيجاد قيم ‘س’ التي تجعل كل عامل من العوامل يساوي صفرًا.

مثال:

حل المعادلة التالية: س² – 6س = 16

الحل:

1. ضع جميع الحدود في طرف واحد واترك الصفر في الطرف الآخر: س² – 6س – 16 = 0
2. حلل الدالة التربيعية إلى العوامل: (س – 8) (س + 2) = 0
3. حل كل عامل على حدة عن طريق مساواته بالصفر: (س – 8) = 0 أو (س + 2) = 0
4. ومنه؛ س = 8، وس = -2

يمكن التحقق من صحة الحلول عن طريق تعويضها في المعادلة الأصلية. وبالتالي، (8 , -2) تعتبر حلولًا للدالة التربيعية س² – 6س = 16.

استعمال القانون العام

يُستخدم القانون العام لإيجاد حلول المعادلة التربيعية عندما تكون جذور المعادلة أرقامًا غير منطقية أو معقدة. القانون العام هو:

س = ((-ب) ± √ (ب² – 4أج)) / (2أ)

حيث أن ‘أ’ و ‘ب’ و ‘ج’ هي معاملات المعادلة التربيعية في صورتها العامة: أ × س² + ب × س + ج = 0.

من الضروري الانتباه إلى المميز (ب² – 4أج)؛ فإذا كان يساوي صفرًا، فهناك جذر حقيقي واحد. أما إذا كان موجبًا، فهناك جذران حقيقيان مختلفان. وإذا كان سالبًا، فلا يوجد جذر حقيقي.

مثال:

حل المعادلة التربيعية: س² – 5س = -6

الحل:

1. ضع كافة المتغيرات في جانب واحد وساويها بالصفر: س² – 5س + 6 = 0
2. استخدم القانون العام: س = ((-ب) ± √ (ب² – 4أج)) / (2أ)
3. س = ((-(-5)) ± √ ((-5)² – 4 × (1) × (6))) / (2 × (1))
4. س = (5 ± √(25 – 24)) / 2
5. س = (5 ± 1) / 2
6. ومنه؛ س = 3 أو س = 2

بالتالي 3 و 2 تعتبران حلولًا للمعادلة التربيعية. وهنا يجب الانتباه إلى أن المميز موجبًا، لذا كان هناك حلان للدالة التربيعية.

أسلوب إكمال المربع

تُستخدم طريقة إكمال المربع لحل المعادلات التربيعية التي تتعامل مع الجذور الحقيقية والتخيلية. تتضمن هذه الطريقة الخطوات التالية:

1. ضع المعادلة بصورة: أ × س² + ب × س = – ج
2. تأكد هنا بأن معامل س² هو 1، وإذا لم يكن كذلك، قسّم طرفي المعادلة على ‘أ’ قبل البدء بالحل.
3. أضف (ب / 2)² لطرفي المعادلة لتكوين مربع كامل.
4. أوجد الجذر التربيعي لطرفي المعادلة.
5. حل المعادلة.

مثال:

حل الدالة التربيعية التالية: س² – 6س + 5 = 0

الحل:

1. ضع الدالة التربيعية بصورة: س² – 6س = -5
2. تأكد من أن معامل س² هو 1.
3. أضف قيمة (ب / 2)² إلى طرفي المعادلة، وهو تربيع (-6 / 2) أي 9.
4. س² – 6س + 9= – 5 + 9
5. س² – 6س + 9 = 4
6. (س – 3)² = 4
7. خذ الجذر التربيعي لكلا الجانبين: س – 3 = ± 2
8. حل المعادلة: (س – 3) = -2 أو (س – 3) = 2
9. ومنه؛ س = 1 أو س = 5
10. 5 و 1 تمثل حلولًا للدالة التربيعية.