فهم أساسيات النهايات في علم الرياضيات

تعريف النهاية في الرياضيات

في مجال الرياضيات، تُعتبر النهاية أداة رياضية جوهرية تُستخدم لتحديد القيمة التي تقترب منها الدالة ق(س) عندما تقترب قيمة المتغير س من قيمة محددة، وليكن ‘أ’. بمعنى آخر، النهاية تحدد سلوك الدالة بالقرب من نقطة معينة، دون النظر بالضرورة إلى قيمة الدالة عند هذه النقطة تحديدًا.

رياضيًا، يتم التعبير عن النهاية بالصيغة التالية:

نها_س←أ ق(س) = ل

حيث تُقرأ: “نهاية الدالة ق(س) تساوي ل عندما تقترب قيمة س من القيمة أ”. هذا يعني أنه كلما اقتربت قيمة س من أ، تقترب قيمة الدالة ق(س) من القيمة ل.

الخصائص الأساسية للنهايات

تتمتع النهايات بمجموعة من الخصائص التي تسهل التعامل معها وحسابها، ومن أهم هذه الخصائص:

• نهاية جمع دالتين: تساوي مجموع نهايتي كل دالة على حدة.
  نها_س←أ (ق(س) + ع(س)) = نها_س←أ ق(س) + نها_س←أ ع(س)
• نهاية الثابت: تساوي الثابت نفسه.
  نها_س←أ جـ = جـ، حيث جـ عدد ثابت.
• نهاية ثابت مضروب في دالة: تساوي الثابت مضروبًا في نهاية الدالة.
  نها_س←أ جـ × ق(س) = جـ × نها_س←أ ق(س)، حيث جـ عدد ثابت.
• نهاية حاصل ضرب دالتين: تساوي حاصل ضرب نهايتي كل دالة على حدة.
  نها_س←أ ق(س) × ع(س) = نها_س←أ ق(س) × نها_س←أ ع(س)
• نهاية قسمة دالتين: تساوي قسمة نهايتي كل دالة على حدة، بشرط ألا تكون نهاية المقام تساوي صفرًا.
  نها_س←أ ق(س) / ع(س) = نها_س←أ ق(س) / نها_س←أ ع(س)، بشرط أن لا تكون نها_س←أ ع(س) تساوي صفر.
• نهاية دالة مرفوعة لأس: تساوي ناتج رفع نهاية الدالة لنفس الأس.
  نها_س←أ (ق(س))^ن = (نها_س←أ ق(س))^ن
• نهاية الدالة س: عندما تقترب س من أ، فإن النهاية تساوي أ.
  نها_س←أ س = أ

أساليب احتساب النهايات

لحساب قيمة النهاية، غالبًا ما نبدأ بتعويض قيمة ‘أ’ التي تقترب منها ‘س’ في الدالة. إذا كانت النتيجة قيمة محددة، فإنها تمثل قيمة النهاية. أما إذا كانت النتيجة غير معرفة (مثل عدد/صفر أو صفر/صفر)، فيجب اللجوء إلى طرق أخرى لحل النهاية.

التمييز بين النهاية وقيمة الدالة

من الضروري التمييز بين مفهوم النهاية وقيمة الدالة عند نقطة معينة. النهاية تشير إلى القيمة التي تقترب منها الدالة عندما تقترب قيمة المتغير من نقطة معينة، بينما قيمة الدالة هي القيمة الفعلية للدالة عند تلك النقطة. قد تكون النهاية موجودة حتى لو كانت الدالة غير معرفة عند تلك النقطة، والعكس صحيح.

مثال: الجدول الآتي يوضّح القيم التي تقترب منها قيمة الدالة ق (س)= 4/3س-4، عندما تقترب قيمة س من القيمة 6؛ أي نها_س←6 4/3س-4، وذلك كما في الجدول الآتي:

يُلاحظ من الجدول السابق أنّ قيم ق (س) تقترب من القيمة 4 كلما اقتربت قيمة المتغير س من القيمة 6، وبالتالي فإنّ: نها_س←6 4/3س-4 = 4.

يجدر بالذكر هنا أن النهاية من جهة واحدة تعني ما يلي:

• النهاية من اليمين: يُرمز لها بالرمز نها_س←أ+، وتعني قيمة النهاية عندما تكون قيم س أكبر من أ، أي القيم التي على يمين العدد أ.
• النهاية من اليسار: يُرمز لها بالرمز نها_س←أ-، وتعني قيمة النهاية عندما تكون قيم س أقل من أ، أي القيم التي على يسار العدد أ.
• ملاحظة: إنّ النهاية تكون موجودة فقط إذا كانت قيمة النهاية من اليمين تساوي قيمة النهاية من اليسار، وإذا كانت النهاية من اليمين لا تساوي النهاية من اليسار فإن النهاية تكون غير موجودة.

أمثلة تطبيقية متنوعة

فيما يلي أمثلة متنوعة لتوضيح كيفية حساب النهايات باستخدام الطرق المختلفة:

المثال الأول: ما هي قيمة النهاية الآتية: نها_س←2 (س² + 4س – 12) / (س² – 2س)؟

الحل:

باستخدام طريقة التعويض يتم تعويض قيمة س في هذه النهاية كما يلي: 2² + (4×2) – 12 / 2² – (2×2) = صفر/صفر.

وبالتالي نحتاج إلى طريقة أخرى لحل هذه النهاية، وأنسب طريقة هي التحليل إلى العوامل، وذلك كما يلي:

نها_س←2 (س² + 4س – 12) / (س² – 2س) = نها_س←2 (س – 2)(س + 6) / س × (س – 2).

باختصار الحد (س – 2) من البسط والمقام نحصل على: نها_س←2 (س + 6) / (س).

بتعويض العدد 2 في النهاية نحصل على: نها_س←2 (س + 6) / (س) = 8/2 = 4.

المثال الثاني: ما هي قيمة النهاية الآتية: نها_س←0 (1 – جتاس) / س؟

الحل:

يمكن حل هذا السؤال بخطوة واحدة باستخدام قاعدة لوبيتال، والتي يتم من خلالها إيجاد مشتقة البسط/مشتقة المقام، ثم تعويض قيمة س كما يلي:

نها_س←0 +جاس / 1.

بتعويض قيمة س = 0 في: نها_س←0 +جاس / 1، فإننا نحصل على الإجابة صفر؛ أي أن: نها_س←0 (1 – جتاس) / س = 0.

المثال الثالث: ما هي قيمة النهاية الآتية: نها_س←2 (س³ + 2س² + 4س – 2)؟

الحل:

يمكن حل هذا السؤال باستخدام طريقة التعويض كما يلي: 2³ + (2×2²) + (4×2) – 2 = 22.

المثال الرابع: ما هي قيمة: نها_س←2 ق(س)، علما بأنّ: ق(س) اقتران متشعب قيمته ق(س) = س + 3 إذا كانت قيم س أقل من أو تساوي 2، ق(س) = -س + 7 إذا كانت قيم س أكبر من 2؟

الحل:

لإيجاد قيمة النهاية فإنه يتم البحث عنها من اليمين واليسار أي تعويض قيمة س عندما تكون قيمة س أكبر من 2، وعندما تكون قيمة س أقل من 2، وذلك كما يلي:

• النهاية من اليمين = 2 + 3 = 5
• النهاية من اليسار = -2 + 7 = 5

بما أن النهاية من اليمين تساوي النهاية من اليسار فإن النهاية موجودة، وتساوي 5.

المثال الخامس: ما هي قيمة النهاية الآتية: نها_س←∞ 1 / (س – 1)؟

الحل:

يمكن حل هذا السؤال باستخدام قاعدة لوبيتال أي باشتقاق البسط والمقام ثم تعويض قيمة س، وذلك كما يلي:

باستقاق البسط والمقام نحصل على نها_س←∞ 1 / (س – 1) = 1 / (1 – 0).

وهذا يعني أن قيمة النهاية تساوي 1.

المثال السادس: ما هي قيمة: نها_س←10 (2 × س × لوس³)؟

الحل:

بما أن النهاية تتوزع على الضرب فإن: نها_س←10 2 س × نها_س←10 لو س³.

باستخدام طريقة التعويض فإنّ: 2 × 10 × لو(1000)، وبالتالي نحصل على النتيجة: 2 × 10 × 3 = 60.

المثال السابع: ما هي نهاية الاقتران الآتي: نها_س←0- 1 / س؟

الحل:

باستخدام طريقة التعويض فإنّ: نها_س←0- 1 / س = 1 / 0، وعليه يمكن حل المسألة من خلال رسم منحنى 1/س ثم إيجاد قيمة ص عندما تؤول قيمة س إلى الصفر من اليسار، وهي تساوي ∞-.

المثال الثامن: ما هي قيمة: نها_س←0 (√(س² + 9) – 3) / س²؟

الحل:

باستخدام طريقة التعويض نحصل على: صفر/صفر، وبالتالي فإنه يجب اللجوء إلى طرق حل أخرى للنهاية، وبما أن المسألة تحتوي على جذر فإن أنسب طريقة هي الضرب بالمرافق.

بضرب البسط والمقام بالمقدار (√(س² + 9) + 3)، وتجميع الحدود نحصل على:

نها_س←0 (س² + 9 – 9) / (س² × (√(س² + 9) + 3))

باختصار المقدار س² في البسط والمقام نحصل على: نها_س←0 1 / (√(س² + 9) + 3).

تعويض قيمة س في نها_س←0 = 1 / (√(س² + 9) + 3) = 1/6.

المثال التاسع: ما هي قيمة نها_س←0 (√(س + 4) – 2) / س؟

الحل:

بتعويض قيمة س نحصل على صفر/صفر، وهذا يعني أنه يجب اللجوء إلى طرق أخرى للحل، وهنا سيتم استخدام الضرب بالمرافق عن طريق ضرب كل من البسط والمقام بالمقدار: (√(س + 4) + 2).

بتجميع الحدود نحصل على: نها_س←0 ((س + 4) – 4) / (س × (√(س + 4) + 2))، وباختصار المقدار س من البسط والمقام نحصل على: نها_س←0 1 / (√(س + 4) + 2)

بتعويض قيمة س = 0 يمكن إيجاد قيمة النهاية، وتساوي: نها_س←0 1 / (√(س + 4) + 2) = 1/4.

المثال العاشر: ما قيمة نها_ص←1.5- (8ص³ + 27) / (2ص + 3)؟

الحل:

يمكن إيجاد قيمة النهاية باستخدام طريقة التعويض كما يلي:

بتعويض قيمة ص في الاقتران نحصل على: (8 × (1.5)³ + 27) / ((2 × 1.5) + 3) = 9.

المثال الحادي عشر: ما هي قيمة نها_س←1/9 (9س – 1) / (3 × √(س) – 1)؟

الحل:

بتعويض قيمة س = 1/9 نجد أن النهاية تساوي: صفر/صفر لذلك نلجأ إلى طريقة أخرى للحل تتمثل بالضرب بالمرافق، وذلك عن طريق ضرب كل من البسط والمقام بالمقدار: (3 × √(س) + 1).

باختصار المقدار (9س – 1) من كل من البسط والمقام نحصل على: نها_س←1/9 ((3س)√ + 1)

بتعويض قيمة س = 1/9، نجد أنّ: نها_س←1/9 ((3س)√ + 1) = 2.

المثال الثاني عشر: ما هي قيمة النهاية الآتية: نها_س←0 (2 × (-3 + س)² – 18) / س؟

الحل:

بتعويض قيمة س = 0 نجد أن النهاية تساوي: صفر/صفر لذلك نلجأ إلى طريقة أخرى للحل تتمثل بما يلي:

بفك التربيع نحصل على ما يلي: نها_س←0 (2 × (9 – 6س + س²) – 18) / س

بتجميع الحدود نحصل على: نها_س←0 (18 – 12س + 2س² – 18) / س

بإخراج س عامل مشترك من البسط نحصل على: نها_س←0 (س (-12 + 2س)) / س، وباختصار المقدار س من البسط والمقام نحصل على: نها_س←0 -12 + 2س

بتعويض قيمة س = 0 في النهاية: نها_س←0 -12 + 2س ينتج أنّ قيمتها = -12.

المراجع

• “Limit”, www.britannica.com
• “What Is a Limit in Math?”, magoosh.com
• “Limits intro”, www.khanacademy.org
• “Limits and Continuity of Functions”, www.math24.net
• “How to Find the Limit of a Function Algebraically”, www.dummies.com
• “31. L’Hopital’s Rule”, web.auburn.edu
• “The Limit”, tutorial.math.lamar.edu
• “What is a Limit?”, www.mathwarehouse.com
• “Limits of Functions”, brilliant.org
• “Limits”, www.toppr.com
• “Limits (An Introduction)”, www.mathopolis.com
• “Limits (Evaluating)”, www.mathopolis.com
• “Computing Limits”, tutorial.math.lamar.edu
• “Limits”, www.varsitytutors.com
• “Limit Concepts”, www.varsitytutors.com