طرق التعامل مع المعادلات الخطية

أسلوب التعويض

تعتمد هذه الطريقة على الخطوات التالية:

1. عزل أحد المتغيرات: في إحدى المعادلتين، يتم عزل أحد المتغيرات (مثلاً ‘ص’) في طرف بمفرده، والتعبير عنه بدلالة المتغير الآخر (‘س’) وبقية الثوابت.
2. التعويض: يتم تعويض قيمة المتغير الذي تم عزله في المعادلة الأخرى. بهذه الطريقة، تتحول المعادلة الثانية إلى معادلة بمتغير واحد فقط (‘س’).
3. حل المعادلة: يتم حل المعادلة الناتجة لإيجاد قيمة ‘س’.
4. إيجاد قيمة المتغير الآخر: يتم تعويض قيمة ‘س’ التي تم الحصول عليها في المعادلة الأولى (أو أي من المعادلتين الأصليتين) لإيجاد قيمة ‘ص’.

مثال: لحل نظام المعادلات: 3 س – ص = 7 و 2 س + 3 ص = 1، نبدأ بعزل ‘ص’ في المعادلة الأولى. بطرح 3س من الطرفين ينتج -ص = 7 – 3س، ثم بالضرب في -1 يصبح ص = 3س – 7. نعوض هذه القيمة في المعادلة الثانية: 2س + 3(3س – 7) = 1. بعد فك الأقواس والتبسيط نجد أن 2س + 9س – 21 = 1، وبالتالي 11س = 22، وعليه س = 2. نعوض قيمة س في المعادلة الأولى لنجد أن ص = 3(2) – 7 = -1.

أسلوب الحذف

تعتمد هذه الطريقة على الخطوات التالية:

1. الضرب بمعامل مناسب: يتم ضرب إحدى المعادلتين أو كلتيهما بعدد مناسب بحيث يصبح معامل أحد المتغيرات (مثلاً ‘س’) متساوياً في المعادلتين، ولكن بإشارتين متعاكستين.
2. الجمع: يتم جمع المعادلتين معاً. بسبب تساوي معاملات أحد المتغيرات واختلاف إشارتها، فإن هذا المتغير سيختفي من المعادلة الناتجة، تاركاً معادلة بمتغير واحد فقط (‘ص’).
3. حل المعادلة: يتم حل المعادلة الناتجة لإيجاد قيمة ‘ص’.
4. إيجاد قيمة المتغير الآخر: يتم تعويض قيمة ‘ص’ التي تم الحصول عليها في إحدى المعادلتين الأصليتين لإيجاد قيمة ‘س’.

مثال: لحل نظام المعادلات: 3 س – ص = 7 و 2 س + 3 ص = 1، نضرب المعادلة الأولى في 3 لتصبح 9 س – 3 ص = 21. ثم نجمع المعادلتين: (9 س – 3 ص) + (2 س + 3 ص) = 21 + 1، وبالتالي 11 س = 22، وعليه س = 2. نعوض قيمة س في المعادلة الأولى: 3 (2) – ص = 7، وبالتالي ص = -1.

أمثلة على معادلات بمتغير واحد

مثال 1: أوجد قيمة المتغير ص في المعادلة ص + 5 = -3.

الحل: بطرح 5 من الطرفين، نحصل على ص = -3 – 5، وبالتالي ص = -8.

مثال 2: ما قيمة المتغير س في المعادلة س / 3 = 4؟

الحل: بضرب الطرفين في 3، نحصل على س = 4 * 3، وبالتالي س = 12.

مثال 3: ما قيمة المتغير (س) في المعادلة الآتية 2 (5 س-2) =4 (1-3 س)؟

الحل:بفك الأقواس عن طريق توزيع الأرقام خارج الأقواس على ما داخل الأقواس، وذلك على النحو الآتي: 10 س-4 = 4-12 س، ثم تجميع الحدود المتشابهة 22 س = 8، ومنه س=4/11.

مثال 4: ما حل المعادلة الخطية الآتية 2 (س+3) = 3 (-2-س) – س؟

الحل:فك الأقواس عن طريق توزيع الأرقام على ما داخل الأقواس، وذلك على النحو الآتي: 2 س+6= -6-3 س- س، ثم تجميع الحدود المتشابهة: 6 س = -12، ومنه س=-2.

مثال 5: جد قيمة المتغير في المعادلة الآتية: (3-س) / (2 س+1) =3.

الحل:جمع الثوابت مع بعضها، والمتغيرات مع بعضها، وذلك عن طريق ضرب طرفي المعادلة بـ (3-س) =3 (2 س+1)، ثم فك الأقواس: 3-س=6 س+3، ومنه 7 س=0، ومنه س=0.

مثال 6: جد قيمة المتغير في المعادلة الآتية: 5 س-12=2 س-3.

الحل:جمع الثوابت مع بعضها، والمتغيرات مع بعضها، لتصبح المعادلة: 3 س=9، ومنه س=3.

مثال 7: جد قيمة المتغير في المعادلة الآتية: (س/3) + (س/4) = (س-5).

الحل:جمع المتغيرات مع بعضها عن طريق توحيد المقامات، لتصبح المعادلة: 7 س/12= (س-5)، ضرب طرفي المعادلة بالعدد (12) لتصبح المعادلة: 7 س=12 (س-5)، فك الأقواس وتجميع الحدود المتشابهة: 5 س=60، ومنه س=12.

أمثلة على معادلات بمتغيرين

مثال 1: أوجد قيمة المتغيرين (س) و (ص) في نظام المعادلات: س + ص = 5 و س – ص = 1.

الحل: بجمع المعادلتين، نحصل على 2س = 6، وبالتالي س = 3. بتعويض قيمة س في المعادلة الأولى، نحصل على 3 + ص = 5، وبالتالي ص = 2.

مثال 2: أوجد قيمة المتغيرين (س) و (ص) في نظام المعادلات: 2 س + ص = 8 و س – ص = -2.

الحل: بجمع المعادلتين، نحصل على 3س = 6، وبالتالي س = 2. بتعويض قيمة س في المعادلة الثانية، نحصل على 2 – ص = -2، وبالتالي ص = 4.

مثال 3: جد قيمة المتغيرين (س)، (ص) في نظام المعادلات الآتي: 2 س-3 ص=5، -3 س+4 ص=0.

الحل:يمكن حل نظام المعادلات السابق بالتعويض، وذلك عن طريق اتباع الآتي:إبقاء المتغير ص على الطرف الأيسر لوحده في المعادلة الثانية عن طريق نقل الحد -3 س إلى الطرف الآخر لتصبح المعادلة: 4 ص=3 س، قسمة طرفي المعادلة على العدد 4، لتكون قيمة ص=3 س/4.تعويض قيمة ص من المعادلة الثانية في المعادلة الأولى لتصبح المعادلة: 2 س-3 (3 س/4) =5، وبفك الأقواس وتجميع الحدود المتشابهة ينتج أن: 2 س-9/4 س=5، ومنه -0.25 س=5، ومنه س=-20.تعويض قيمة س بالمعادلة الثانية بعد ترتيبها: ص=3 (-20) /4=-15.

مثال 4: جد قيمة المتغيرين (س)، (ص) في نظام المعادلات الآتي: -2س+ص=-2، 3 س-4 ص=1.

الحل:يمكن حل نظام المعادلات السابق بالحذف، وذلك عن طريق اتباع الآتي:ضرب المعادلة الأولى بالعدد (4) للتخلص من المتغير ص، لتصبح المعادلة: -8 س+4 ص=-8.جمع المعادلتين معاً: -8 س+4 ص+3 س-4 ص=-8+1، ومنه -5 ص=-7، ومنه س=1.4.تعويض قيمة س في المعادلة الأولى لينتج أن: -2(1.4)+ص=-2، ومنه ص=0.8.

مثال 5: جد قيمة المتغيرين (س)، (ص) في نظام المعادلات الآتي: 3 س+2 ص=7، 2 س+3 ص=8.

الحل:يمكن حل نظام المعادلات السابق بالتعويض، وذلك عن طريق اتباع الآتي:إبقاء المتغير ص على الطرف الأيسر لوحده في المعادلة الثانية عن طريق نقل الحد -2 س إلى الطرف الآخر لتصبح المعادلة: 3 ص=8-2 س، قسمة طرفي المعادلة على العدد 3، لتكون قيمة ص= (8-2 س) /3.تعويض قيمة ص من المعادلة الثانية في المعادلة الأولى لتصبح المعادلة: 3 س+2 (8-2 س) /3) =7، وبفك الأقواس وتجميع الحدود المتشابهة ينتج أن: 3 س- (4/3) س+(16/3)=7، ومنه 1.67 س=1.67، ومنه س=1.تعويض قيمة س بالمعادلة الثانية بعد ترتيبها: ص= (8-2 س) /3= (8-2 (1) /3=2.

مثال 6: جد قيمة المتغيرين (س)، (ص) في نظام المعادلات الآتي: 4 س+3 ص=2، -3 س+ص=5.

الحل:يمكن حل نظام المعادلات السابق بالحذف، وذلك عن طريق اتباع الآتي:ضرب المعادلة الثانية بالعدد (-3) للتخلص من المتغير ص، لتصبح المعادلة: 9 س-3 ص=-15.جمع المعادلتين معاً: 4 س+3 ص+9 س-3 ص=2-15، ومنه 13 س=-13، س=-1.تعويض قيمة س في المعادلة الثانية لينتج أن: -3 (-1) +ص=5، ومنه ص=2.

أمثلة على معادلات بثلاثة متغيرات

مثال 1:جد قيمة المتغيرين (س)، (ص)، (ع)، في نظام المعادلات الآتي:

2 س -3 ص+ ع =-9 —- معادلة (1)

س + ص+2 ع= 0 —- معادلة (2)

-2 س +2 ص-3 ع =13—- معادلة (3)

الحل:يمكن حل نظام المعادلات السابق بطريقة الجمع والطرح، وذلك عن طريق اتباع الخطوات التالية:نأخد المعادلتين (1) و(2):

2 س -3 ص+ ع =-9— معادلة (1)

س + ص+2 ع= 0 — معادلة (2)

تحديد المتغير المراد حذفه وفي هذه المسألة نختار المتغير (س).

توحيد معامل المتغير (س) في كلا المعادلتين وذلك بضرب المعادلة الثانية بالعدد (2) لتصبح كالآتي:

2 س +2 ص+4 ع= 0

طرح المعادلتين من بعضهما البعض وذلك لأن معامل المتغير (س) في المعادلتين موجب (متشابهتان في الإشارة) ليصبح ناتج المعادلة:

(2 س -3 ص+ ع =-9) – (2 س +2 ص+4 ع= 0) = – 5 ص – 3 ع = -9 — معادلة (4)

أخذ المعادلة الثالثة مع المعادلة الثانية أو الأولى، وفي هذا المثال أخذنا المعادلة (5) مع المعادلة (3):

س + ص+2 ع= 0— معادلة (2)

-2 س +2 ص-3 ع =13— معادلة (3)

توحيد المعاملات وذلك بعد ضرب المعادلة الثانية بالعدد 2 وذلك لتوحيد المعاملات المتغير (س) كالآتي:

2 س +2 ص+4 ع= 0

جمع المعادلتين وذلك لأن معامل المتغير (س) في كلا المعادلتين مختلفين في الإشارة ليصبح ناتج المعادلة:

(2 س +2 ص+4 ع= 0) + (-2 س +2 ص-3 ع =13) =4 ص + ع = 13 — معادلة (5)

أخذ المعادلة الرابعة والمعادلة الخامسة ونحدد المتغير المراد حذف وفي هذه المسألة نختار المتغير (ع)؛ لأن معاملاته متساوية ومختلفة في الإشارة، مما لا يحتاج إلى عملية ضرب أو قسمة لتوحيد المعاملات، فنجمع المعادلتين؛ لينتج لدينا قيمة المتغير (ع) كالآتي:

(- 5 ص – 3 ع = -9) + (4 ص + ع = 13) =-1 ص-2 ع =4

ومنه؛ ص =-6

تعوض قيمة المتغير (ص) في إحدى المعادلتين الرابعة أو الخامسة والتي تحتوي على متغيرين؛ لإيجاد قيمة المتغير الآخر، التعويض في المعادلة (5):

4 ×-6 + ع= 13

ومنه؛ ع = 37

تعويض قيمة المتغيرين (ع) و(ص) في إحدى المعادلات الأصلية؛ لإيجاد قيمة المتغير (س) مثل المعادلة (2)

س + -6 +(2 ×37)=0

ومنه؛ س = -68

التحقق من المعادلة وذلك بتتطبق مجموعة حل قيم المتغيرات (س =-68، ص=-6، ع=37) في المعادلات الأصلية حيث حققت المعادلات الثلاث كالآتي:

(2 ×-68) -(3×-6)+ 37 =-9

(-68) + -6 +(2 ×37)=0

(-2 ×-68) +(2× -6)-(3 ×37) =13

مثال 2:جد قيمة المتغيرين (س)، (ص)، (ع)، في نظام المعادلات الآتي:

4 س + ص- ع = -2 —- معادلة (1)

-3 س – ص+2 ع= 3 —- معادلة (2)

س + ص- ع = 1—- معادلة (3)

الحل:يمكن حل نظام المعادلات السابق بطريقة الجمع والطرح، وذلك عن طريق اتباع الخطوات التالية:

أخد المعادلتين الأولى والثانية:

4 س + ص- ع = -2 — معادلة (1)

-3 س – ص+2 ع= 3 — معادلة (2)

تحديد المتغير المراد حذفه وفي هذه المسألة نختار المتغير (ص)؛ لأنَّ معاملاته متساوية ومختلفة في الإشارة مما لا يحتاج إلى عملية ضرب أو قسمة لعملية توحيد المعاملات فنجمع المعادلتين لينتج لدينا قيمة المعادلة الآتية:

(4 س + ص- ع = -2) – (-3 س – ص+2 ع= 3)

س+ ع =1 — معادلة (4)

أخذ المعادلة الثالثة مع المعادلة الثانية أو الأولى في هذا المثال أخذنا المعادلة (2):

-3 س – ص+2 ع= 3 —- معادلة (2)

س + ص- ع = 1—- معادلة (3)

حذف المتغير (ص)؛ لأن معاملاته متساوية ومختلفة في الإشارة أيضًا، مما لا يحتاج إلى عملية ضرب أو قسمة لتوحيد المعاملات، فنجمع المعادلتين لينتج لدينا المعادلة الآتية:

(-3 س – ص+2 ع= 3) + ( س + ص- ع = 1)

-2 س +ع =4— معادلة (5)

أخذ المعادلة الرابعة والمعادلة الخامسة وتحديد المتغير المراد حذفه وفي هذه المسألة نختار المتغير (ع)؛ لأنَّ معاملاته متساوية ونطرح المعادلتين لينتج لدينا قيمة المتغير (س) كالآتي:

(س+ ع =1) – (-2 س +ع =4)

3 س =-3

ومنه؛ س = -1

تعويض قيمة المتغير (س) في إحدى المعادلتين الرابعة أو الخامسة والتي تحتوي على متغيرين؛ لإيجاد قيمة المتغير الآخر مثل المعادلة (4):

-1 + ع =1

ومنه؛ ع= 2

تعويض قيمة المتغيرين (س) و(ع) في إحدى المعادلات الأصلية؛ لإيجاد قيمة المتغير (ص) مثل المعادلة (3):

(-1) + ص – 2= 1

ومنه؛ ص = 4

التحقق من المعادلة وذلك بتطبيق مجموعة حل قيم المتغيرات في المعادلات الأصلية حيث حققت المعادلات الثلاث كالآتي س= -1، ص=4، ع=2:

(4× -1) + 4- 2= -2

(-3× -1) -( 4)+(2 ×2)= 3

((-1) +4 – 2 =1