سمات وخصائص المثلث المتطابق الضلعين

مقدمة حول المثلث المتطابق الضلعين

المثلث المتطابق الضلعين هو شكل هندسي يتميز بتطابق ضلعين على الأقل من أضلاعه. هذه الخاصية البسيطة تؤدي إلى مجموعة من الخصائص الهامة الأخرى المتعلقة بالزوايا والارتفاعات، مما يجعله شكلاً مهماً في دراسة الهندسة. أحد الأمثلة الخاصة هو المثلث القائم الزاوية الذي تكون زواياه 90-45-45، والذي يجمع بين خصائص المثلث القائم والمثلث المتطابق الضلعين.

السمات الأساسية للمثلث المتطابق الضلعين

بالإضافة إلى الخصائص العامة التي تنطبق على جميع المثلثات، يتميز المثلث المتطابق الضلعين بالسمات التالية:

• الأضلاع المتطابقة: يمتلك ضلعين متساويين في الطول، يُطلق عليهما “ساقي المثلث”، بينما يُعرف الضلع الثالث بـ “قاعدة المثلث”.
• زاوية الرأس: الزاوية المقابلة لقاعدة المثلث تسمى “زاوية الرأس”.
• زوايا القاعدة: الزاويتان المتبقيتان، الواقعتان على قاعدة المثلث، متساويتان دائماً وتُعرفان بـ “زوايا القاعدة”.
• مجموع الزوايا: وكما هو الحال في أي مثلث، فإن مجموع قياسات الزوايا الداخلية في المثلث المتطابق الضلعين يساوي 180 درجة.
• الارتفاع: الارتفاع هو الخط العمودي الواصل من رأس المثلث إلى قاعدته. وله خصائص مميزة في المثلث المتطابق الضلعين.

خصائص الارتفاع في المثلث المتطابق الضلعين:

• يقسم الارتفاع قاعدة المثلث إلى نصفين متساويين، مشكلاً زاوية قائمة.
• ينصف الارتفاع زاوية الرأس.
• يقسم الارتفاع المثلث إلى مثلثين متطابقين تماماً.

قوانين هامة في المثلث المتطابق الضلعين

تسمح لنا معرفة بعض أبعاد المثلث المتطابق الضلعين بحساب الأبعاد الأخرى باستخدام قوانين رياضية بسيطة، تعتمد بشكل أساسي على نظرية فيثاغورس.

نماذج وتمارين على خصائص المثلث المتطابق الضلعين

المثال الأول:

مثلث أ ب جـ، فيه طول أب = أ جـ فإذا كان قياس الزاوية ب أ جـ يساوي 40 درجة، فما هو قياس ∠أ ب جـ؟

الحل:

بما أن أ ب = أ جـ، فإن ∠أ ب جـ = ∠أ جـ ب؛ وفق خصائص المثلث متساوي الساقين.

بما أنمجموع زوايا المثلث180 فإن ∠أ ب جـ + ∠أ جـ ب + ∠ب أ جـ = 2∠أ ب جـ + ∠ب أ جـ = 180.

وبالتالي فإن 2∠أ ب جـ = 140، وبالقسمة على 2 فإن الزاوية أ ب جـ تساوي 70 درجة.

المثال الثاني:

مثلث أ ب جـ متساوي الساقين، فإذا كان قياس الزاوية أ ب جـ يساوي 50 درجة فما هي احتمالات قياس الزاوية ب أ جـ؟

الحل:

الاحتمال الأول: إذا كانت ∠أ ب جـ = ∠ ب أ جـ ؛ أي أن: ب جـ = أ جـ؛ فإنه يمكن معرفة قياس الزاوية أ ب جـ مباشرة، وتساوي 50 درجة.

الاحتمال الثاني: إذا كانت ∠أ ب جـ = ∠ ب جـ أ؛ أي أن: أجـ = أب؛ فإنه يمكن إيجاد ∠ب أ جـ كما يلي: 50 + 50 + ∠ب أ جـ = 180درجة، وبالتالي فإن ∠ب أ جـ = 80 درجة.

الاحتمال الثالث: إذا كانت ∠ب أ جـ = ∠ب جـ أ؛ أي أن: ب جـ = أب؛ فإن 50 + 2∠ب أ جـ = 180، وبالتالي فإن ∠ب أ جـ = 65 درجة.

هذا يعني أن هناك ثلاثة احتمالات لقياس ∠ب أ جـ وهي: 50، و65، و80 درجة.

المثال الثالث:

مثلث متساوي الساقين أ ب جـ، وفيه الضلع د جـ يمثل المستقيم الواصل بين الرأس جــ، والقاعدة أ ب، وفيه أ د = د جـ = جـ ب، فإذا كانت قياس الزاوية د أ جـ يساوي 40 درجة، فما هو قياس ∠ د جـ ب؟

الحل:

في المثلث أ د جـ فإن ∠ د جـ أ = ∠د أ جـ = 40، وبالتالي:

∠ جـ د ب = 40 + 40 = 80 درجة، وذلك لأن الزاوية جـ د ب تمثل زاوية خارجية للمثلث أ د جـ، وقياس الزاوية الخارجية يساوي دائما مجموع الزاويتين البعيدتين عنها.

في المثلث د جـ ب فإن ∠جـ ب د = ∠جـ د ب = 80 درجة، وبالتالي:

∠د جـ ب = 180 – 80 – 80، ويساوي 20 درجة.

المثال الرابع:

مثلث متساوي الساقين قياس إحدى زاويتي قاعدة المثلث (4س+12)، وقياس الزاوية الأخرى (5س-3)، فما هي قيمة س، وما هو قياس زوايا المثلث؟

الحل:

بما أن زوايا قاعدة المثلث متساوية، فإنه يمكن إيجاد قيمة س كما يأتي:

4س+12 = 5س-3

بحل هذه المعادلة فإن س = 15.

الزاوية الأولى: (4س+12)= (4×15) + 12 = 72.

بما أن زاويتي القاعدة متساويتين فإن قياس الزاوية الأخرى 72 درجة أيضاً.

بما أن مجموع زوايا المثلث 180 فإنه يمكن إيجاد زاوية رأس المثلث كما يلي:

180 – 72 – 72، ويساوي 36 درجة.

المثال الخامس:

مثلث متساوي الساقين قياس إحدى زاويتي القاعدة 47، فما هو قياس زاوية رأس المثلث؟

الحل:

بما أن المثلث متساوي الساقين فإن زوايا القاعدة متساوية، وبالتالي فإن قياس زاوية القاعدة الأخرى 47 درجة أيضاً.

بما أن مجموع زوايا المثلث 180 فإنه يمكن إيجاد زاوية الرأس (س) كما يأتي:

47 + 47 + س = 180

س = 180 – 47 – 47

= 86 درجة.

المثال السادس:

مثلث متساوي الساقين فيه قياس زاوية الرأس 116، فما هو قياس زاويتي القاعدة؟

الحل:

بما أن مجموع زوايا المثلث 180، فإنه يمكن إيجاد زاويتي القاعدة المتساويتين (ب) كما يأتي:

116 + ب + ب = 180 درجة.

2 × ب = 64

ب = 32 درجة.

المثال السابع:

مثلث متساوي الساقين فيه طول أحد الضلعين المتساويين 19س + 3، وطول الضلع الآخر 8س + 14، فما هي قيمة س؟

الحل:

بما أن الضلعين متساويين، فإنه يمكن إيجاد قيمة س كما يأتي:

19س + 3 = 8س + 14، ومنه: 11س = 11، ومنه: س = 1.

المثال الثامن:

مثلث متساوي الساقين فيه طول أحد الضلعين المتساويين 5ص – 2، وطول الضلع الآخر 13، فما هي قيمة ص؟

الحل:

بما أن المثلثين متساويين فإنه يمكن إيجاد قيمة ص كما يأتي:

5ص – 2 = 13، ومنه: 5ص = 15، ومنه: ص = 3.

المثال التاسع:

مثلث متساوي الساقين فيه قياس زاويتي القاعدة 8ص – 16، والزاوية الأخرى 72، وقياس زاوية الرأس 9س، فما هي قيمة س، وص؟

الحل:

بما أن المثلث متساوي الساقين فإن قياس زاويتي القاعدة متساوي، وبالتالي فإنه يمكن إيجاد قيمة ص كما يأتي:

8ص – 16 = 72، ومنه: 8ص = 88، ومنه: ص = 11.

بما أن مجموع زوايا المثلث 180 درجة، فإنه يمكن إيجاد قياس الزاوية الرأس كما يلي:

180 – 72 – 72 = زاوية الرأس، ومنه: زاوية الرأس = 36 = 9س، وبالتالي فإن س = 4.

المثال العاشر:

مثلث متساوي الساقين قائم الزاوية طول ضلعيه المتساويين اللذين يمثلان ضلعي القائمة 6.5 سم، فما هو طول الوتر؟

الحل:

بما أن المثلث قائم الزاوية فإنه يمكن إيجاد طول الوتر باستخدام نظرية فيثاغورس، وذلك كما يأتي:

الوتر2= الضلع12+ الضلع 22؛ حيث إن الضلع الأول، والثاني (ل) هما ضلعي القائمة.

الوتر² = (ل² + ل²)√، وبإدخال الجذر التربيعي على الطرفين فإن الوتر = ل×2√، وبالتالي فإن الوتر = 6.5×2√.

المثال الحادي عشر:

مثلث متساوي الساقين قائم الزاوية فإذا كان طول الوتر فيه 10√ سم، فما هو طول ضلعي القائمة المتساويين؟

الحل:

بما أن المثلث قائم الزاوية فإنه يمكن استخدام نظرية فيثاغورس لإيجاد طول ضلعي القائمة، وذلك كما يأتي:

الوتر2= الضلع12+ الضلع22، ومنه: الوتر² = (ل² + ل²)√، وباخذ الجذر التربيعي للطرفين ينتج أن:

الوتر = طول ضلعي القائمة المتساويين×2√، ومنه: 10√= طول ضلعي القائمة المتساويين×2√ ومنه: الضلع = 2√/10√، وبالتالي فإن طول كل من ضلعي القائمة 5√ سم.

خلاصة

المثلث المتطابق الضلعين هو شكل هندسي بسيط ولكنه غني بالخصائص والقوانين. فهم هذه الخصائص يساعد في حل العديد من المسائل الهندسية وتطبيقاتها العملية.