جدول المحتويات
الخصائص الجوهرية للمعدل الحسابي
يتميز المعدل الحسابي بمجموعة من السمات الهامة التي تجعله أداة مفيدة في تحليل البيانات. من بين هذه السمات:
- خاصية الانحرافات: مجموع انحرافات القيم عن المعدل الحسابي يساوي صفرًا دائمًا. رياضياً، يمكن التعبير عن ذلك كالتالي: (س-ل)∑ = 0؛ حيث (Σ) تعني المجموع، ل: المعدل الحسابي، س: أي قيمة من القيم.
- خاصية المربعات الصغرى: مجموع مربع انحرافات القيم عن المعدل الحسابي هو أقل قيمة ممكنة. هذا يعني أنه أقل من مجموع مربع انحرافات القيم عن أي قيمة أخرى غير المعدل الحسابي.
- التأثر بالقيم المتطرفة: المعدل الحسابي يتأثر بالقيم المتطرفة (القيم الشاذة) بشكل كبير. هذه القيم قد تكون مرتفعة جدًا أو منخفضة جدًا.
- التأثر بجميع القيم: المعدل الحسابي يتأثر بكل قيمة في العينة. تغيير أي قيمة سيؤدي إلى تغيير المعدل الحسابي.
- عدم ضرورة الانتماء: لا يشترط أن تكون قيمة المعدل الحسابي ضمن مجموعة القيم الأصلية.
- ليس بالضرورة عددًا صحيحًا: حتى إذا كانت جميع القيم في العينة أعدادًا صحيحة، فإن المعدل الحسابي قد يكون عددًا عشريًا.
- الوقوع بين القيم: يقع المعدل الحسابي دائمًا بين أعلى وأقل قيمة في العينة، ولكنه ليس بالضرورة في المنتصف تمامًا.
- نفس وحدة القياس: المعدل الحسابي يحمل نفس وحدة القياس التي تحملها القيم الأصلية.
مثال توضيحي: لنفترض أن لدينا القيم التالية: 10، 20، 30، 40، 50.
المعدل الحسابي لهذه القيم هو (10+20+30+40+50)/5 = 30.
يمكن التحقق من خاصية الانحرافات كالتالي: (10-30) + (20-30) + (30-30) + (40-30) +(50-30) = -20 + -10 + 0 + 10 + 20 = 0.
مثال توضيحي: باستخدام نفس القيم السابقة: 10، 20، 30، 40، 50، فإن المعدل الحسابي هو 30.
مجموع مربع الانحرافات عن المعدل الحسابي هو: (10-30)² + (20-30)² + (30-30)² + (40-30)² +(50-30)² = (-20)² + (-10)² + (0)² + (10)² + (20)² = 1000.
إذا اخترنا قيمة أخرى، مثل 50، فإن مجموع مربع الانحرافات عنها هو: (10-50)² + (20-50)² + (30-50)² + (40-50)² +(50-50)² = (-40)² + (-30)² + (-20)² + (10-)² + (0)² = 3000، وهي قيمة أكبر.
تعديلات على القيم وتأثيرها على المعدل الحسابي
- الإضافة: إذا أضفنا قيمة ثابتة (ل) إلى كل قيمة في العينة، فإن المعدل الحسابي الجديد سيكون المعدل الحسابي القديم مضافًا إليه ل.
- الطرح: إذا طرحنا قيمة ثابتة (ل) من كل قيمة في العينة، فإن المعدل الحسابي الجديد سيكون المعدل الحسابي القديم مطروحًا منه ل.
- الضرب: إذا ضربنا كل قيمة في العينة بقيمة ثابتة (ل)، فإن المعدل الحسابي الجديد سيكون المعدل الحسابي القديم مضروبًا في ل (بشرط أن ل لا تساوي صفرًا).
- القسمة: إذا قسمنا كل قيمة في العينة على قيمة ثابتة (ل)، فإن المعدل الحسابي الجديد سيكون المعدل الحسابي القديم مقسومًا على ل (بشرط أن ل لا تساوي صفرًا).
الحالة الخاصة: القيم المتساوية
إذا كانت جميع القيم في العينة متساوية (ولنفترض أنها تساوي ل)، فإن المعدل الحسابي سيكون أيضًا ل. مثال: إذا كان طول 10 طلاب هو 170 سم، فإن المعدل الحسابي لأطوالهم هو 170 سم.
المعدل الحسابي المدمج
إذا كان لدينا مجموعتان من القيم، المجموعة الأولى عددها ن1 ومعدلها الحسابي س1، والمجموعة الثانية عددها ن2 ومعدلها الحسابي س2، فإن المعدل الحسابي المدمج (بالإنجليزية: Combined Arithmetic Mean) لهاتين المجموعتين هو: س = (ن1×س1+ ن2×س2)/(ن1+ن2).
يمكن تعميم هذه الصيغة لأي عدد من المجموعات: المعدل الحسابي المدمج (س) = (ن×س)∑ / ن∑؛ حيث: (ن×س)∑ = ن1×س1+ ن2×س2+ … و ن∑ = ن1+ ن2+ …
مثال: إذا كان المعدل الحسابي لنتائج امتحانات الطلاب في مدرسة هو 82 (عدد الطلاب 57)، وفي مدرسة أخرى هو 63 (عدد الطلاب 23)، فإن المعدل الحسابي للمدرستين معًا هو: س = (57×82+23×63)/(57+23) = 76.5.
مقارنة بين المعدل الحسابي والمنوال والوسيط
هناك ثلاثة مقاييس أساسية للنزعة المركزية: المعدل الحسابي، والوسيط، والمنوال. إليك مقارنة بينها:
- الوسيط: هو القيمة التي تقع في منتصف البيانات بعد ترتيبها تصاعديًا أو تنازليًا. يعتبر الوسيط مقياسًا أفضل من المعدل الحسابي في التوزيعات الملتوية (Skewed Distributions) لأنه لا يتأثر بالقيم المتطرفة.
- المعدل الحسابي: كما ذكرنا سابقًا، هو مجموع القيم مقسومًا على عددها. يتأثر بالقيم المتطرفة، مما قد يجعله مقياسًا غير دقيق في بعض الحالات.
- المنوال: هو القيمة الأكثر تكرارًا في البيانات.
مثال توضيحي
لنفترض أن لدينا القيم التالية: 13، 18، 13، 14، 13، 16، 14، 21، 13.
- المعدل الحسابي: (13+18+13+14+13+16+14+21+13)/9 = 15.
- الوسيط: بعد ترتيب القيم تصاعديًا: 13، 13، 13، 13، 14، 14، 16، 18، 21. الوسيط هو 14.
- المنوال: القيمة الأكثر تكرارًا هي 13 (تكررت 4 مرات).
لمحة عامة حول المعدل الحسابي
المعدل الحسابي هو قيمة تمثل المتوسط الرياضي لمجموعة من القيم. يتم حسابه عن طريق جمع القيم ثم قسمة المجموع على عدد القيم. يعتبر المعدل الحسابي أحد مقاييس النزعة المركزية، بالإضافة إلى الوسيط والمنوال.
مثال: لحساب المعدل الحسابي للقيم 34، 44، 56، 78، نقوم بجمعها: 34+44+56+78 = 212، ثم نقسم المجموع على عدد القيم (4): 212/4 = 53.
