مقدمة حول الدوال الخطية
تتميز الدالة الخطية بصفات وخصائص تميزها عن غيرها من الدوال. وتشمل هذه الخصائص ما يلي:
- يشمل كل من نطاق ومدى الدالة الخطية مجموعة الأعداد الحقيقية.
- تحتوي الدالة الخطية على متغيرين فقط، وكلاهما مرفوع للأس واحد. هذا يعني أن التمثيل البياني للدالة سيكون خطًا مستقيمًا.
- كل زوج مرتب (س، ص) ينتج عن تعويض قيم مختلفة لـ ‘س’ في معادلة الدالة الخطية يمثل نقطة على هذا الخط.
- يمثل الميل معدل التغير الثابت للدالة الخطية.
- الصيغة العامة للدالة الخطية، المعروفة بصيغة الميل والمقطع، تتضمن قيمتي الميل والمقطع الصادي.
- المقطع الصادي هو قيمة ‘ص’ عندما تكون ‘س’ مساوية للصفر، وهو النقطة التي يتقاطع فيها الخط مع محور الصادات.
- الدالة الخطية المتزايدة يمثلها خط يميل إلى الأعلى عند التحرك من اليسار إلى اليمين.
- الدالة الخطية المتناقصة يمثلها خط يميل إلى الأسفل عند التحرك من اليسار إلى اليمين.
- الدالة الخطية الثابتة يمثلها خط أفقي.
- الرمز ق(س) هو تعبير آخر للدلالة على المتغير ‘ص’.
توصيفات ميل الدالة الخطية
يمكن أن يأخذ ميل الدالة الخطية إحدى الحالات التالية:
- الميل موجب (م > 0): يعني أن الدالة متزايدة، وبالتالي يميل الخط إلى الأعلى عند الاتجاه من اليسار إلى اليمين.
- الميل سالب (م < 0): يعني أن الدالة متناقصة، وبالتالي يميل الخط إلى الأسفل عند الاتجاه من اليسار إلى اليمين.
- الميل يساوي صفرًا (م = 0): يعني أن الدالة ثابتة، وبالتالي يكون الخط أفقيًا.
- الميل غير معرف (∞): يعني أن الخط عمودي.
يتم حساب الميل عن طريق قسمة التغير الرأسي على التغير الأفقي بين أي نقطتين على الخط، وهذه النسبة ثابتة دائمًا. رياضياً:
الميل = (ص2 – ص1) / (س2 – س1)
حيث (س1، ص1) و (س2، ص2) هما أي نقطتين على الخط المستقيم.
التمثيل البياني للدوال الخطية
لتمثيل الدوال الخطية بيانيًا، يمكن اتباع الخطوات التالية:
- إيجاد نقطتين تحققان معادلة الدالة الخطية.
- تحديد موقع النقطتين على المستوى البياني.
- رسم خط مستقيم يمر عبر هاتين النقطتين.
نماذج متنوعة للدوال الخطية
مثال 1:
أي من الاقترانات التالية هو اقتران خطي: (ص=2س)، (ص=11-س)، (ص=⅔س+¼)، (س²+ص²=1)، (ص=س³)، (ص=س²+1)؟
الحل:
الاقترانات الخطية هي التي تتبع الصيغة: ص = م س+جـ. بالتالي الاقترانات الخطية هي: (ص=2س)، (ص=11-س)، (ص=⅔س+¼).
مثال 2:
يمر الاقتران الخطي ق(س)= م س+ب بالنقاط: (1،1)، (3،2)، (5،3)، (7،4). جد قيمة كل من: م ، ب؟
الحل:
بالتعويض بالنقطة (1،1): 1=م×(1)+ب، ومنه: م+ب=1، إذن: ب=1-م.
بالتعويض بالنقطة (3،2): 2=م×(3)+ب، ومنه: 2=3م+ب.
بالتعويض بقيمة ب: 2=3م+(1-م)، ومنه: م= ½.
بالتعويض بقيمة م: ب = 1-(½)= ½.
مثال 3:
إذا كان الاقتران ق(س)= جـ، فجد قيمة ق(2) – ق(1)؟
الحل:
بما أنّ قيمة الاقتران ثابتة فإنّ: ق(2) – ق(1)= صفر.
مثال 4:
جد الميل للاقتران الخطي الآتي: ص=11س-1؟
الحل:
الميل هو معامل س، وبالتالي الميل (م) = 11.
مثال 5:
تكاليف شركة ثابتة: 7000 دينار، والتكاليف المتغيرة: 600 دينار للقطعة. ما هي معادلة التكاليف الكلية؟
الحل:
نفرض: س= عدد القطع، و ص = التكاليف الكلية. المعادلة: ص = 600×س + 7000. إذا كانت س = 15، فإن: ص = 600×(15)+7000 = 16,000 دينار.
مثال 6:
اكتب المعادلة: 3س+ 2ص= -4 بصيغة الميل-القاطع، ثم جد الميل والمقطع الصاديّ؟
الحل:
ص= ½(-3س-4)، ثم: ص= -3/2 س-2. الميل: م=-3/2، المقطع الصادي: ص= -2.
مثال 7:
خط مستقيم ميله -3، ويمر بالنقطة (2، 5)، جد مُعادلة الاقتران؟
الحل:
نعوّض النقطة (2، 5) في الصيغة العامّة: ص= م س+ب، إذن: 5= -3×(2)+ب، ب= 11. المعادلة: ق(س)=ص= -3س+11.
مثال 8:
جد ميل الخط الممثّل للاقتران الآتي: ق(3)= -1، ق(-8)= -6؟
الحل:
النقاط: (3، -1)، (-8، -6). الميل= [-6-(-1)]/ [-8-3]=5/11.
مثال 9:
جد معادلة الخطّ المستقيم الممثل للاقتران الخطي، إذا عُلِم أنّ: ق(2)= 5، ق(6)= 3؟
الحل:
النقاط: (2، 5)، (6، 3). الميل= [3-5]/ [6-2]= -1/2. بالتعويض في الصيغة العامّة: ص= -½س+6.
لمحة شاملة عن الدوال الخطية
الدالة الخطية هي دالة يمكن تمثيلها بخط مستقيم. رياضيًا، معادلتها تتكون من متغير واحد أو متغيرين فقط بدون أسس. وإذا احتوت على أكثر من حد، يجب أن تكون هذه الحدود ثابتة. تعتبر الدوال الخطية من أبسط الدوال للدراسة وحل معادلاتها سهل. هناك ثلاث صيغ قياسية للدالة الخطية: ص= ق(س):
- ق(س)= م س+ ب (صيغة الميل والمقطع): م: الميل، ب: المقطع الصادي (قيمة ص عندما س= 0).
- ص- ص1= م(س- س1) (صيغة النقطة والميل): (س1،ص1): نقطة على الخط، م: الميل.
- أ س+ ب ص = جـ (الصيغة العامة): الميل= -أ/ب (إذا كانت ب≠0) أو الميل= ∞ (إذا كانت ب=0).
ملاحظات:
- أي دالة خطية تحتوي على متغير مستقل (س) ومتغير تابع (ص).
- الميل (م) هو معامل المتغير المستقل (س) في صيغة الميل والمقطع.
