سمات الأعداد الحقيقية

مقدمة حول الأعداد الحقيقية

تُعرف الأعداد الحقيقية (بالإنجليزية: Real Numbers) بأنها مجموعة شاملة من الأعداد التي يمكن تمثيلها على خط الأعداد. ويُشار إليها عادةً بالرمز (R). تشمل هذه المجموعة الواسعة الأعداد الطبيعية (جميع الأعداد الصحيحة الموجبة)، والأعداد الصحيحة (بما في ذلك الأعداد السالبة والصفر)، والأعداد النسبية (التي يمكن التعبير عنها ككسر)، والأعداد غير النسبية (مثل الجذور التربيعية للأعداد التي ليست مربعات كاملة، والعدد باي π). تتميز الأعداد الحقيقية بعدة سمات أساسية تحدد سلوكها في العمليات الحسابية المختلفة.

فهم خاصية الانغلاق

تنص خاصية الانغلاق (بالإنجليزية: Closure Properties) على أنه عند إجراء عملية جمع أو ضرب بين عددين حقيقيين، فإن النتيجة ستكون دائمًا عددًا حقيقيًا أيضًا. بمعنى آخر، المجموعة مغلقة تحت عمليتي الجمع والضرب. رياضياً، إذا كان ‘أ’ و ‘ب’ عددين حقيقيين، فإن (أ + ب) و (أ × ب) هما أيضًا عددان حقيقيان.

مثال: إذا كان العددان 5 و 7 حقيقيين، فإن 5 + 7 = 12 و 5 × 7 = 35، وكلاهما عددان حقيقيان.

ومع ذلك، لا تنطبق خاصية الانغلاق على القسمة في جميع الحالات. القسمة على صفر غير معرفة، وبالتالي فإن ناتج قسمة عدد حقيقي على صفر ليس عددًا حقيقيًا.

مثال: 5 و 0 عددان حقيقيان، لكن 5/0 غير معرفة.

استكشاف الخاصية التبادلية

توضح الخاصية التبادلية (بالإنجليزية: Commutative Properties) أن ترتيب الأعداد لا يؤثر على نتيجة عمليتي الجمع والضرب. إذا كان ‘أ’ و ‘ب’ عددين حقيقيين، فإن:

• أ + ب = ب + أ
• أ × ب = ب × أ

أمثلة:

• 3 + 5 = 5 + 3 = 8
• 4 × 6 = 6 × 4 = 24

الخاصية التجميعية بالتفصيل

تشير الخاصية التجميعية (بالإنجليزية: Associative Properties) إلى أن طريقة تجميع الأعداد في عمليات الجمع والضرب المتتالية لا تؤثر على النتيجة. إذا كانت ‘أ’، ‘ب’، و ‘ج’ أعدادًا حقيقية، فإن:

• (أ + ب) + ج = أ + (ب + ج)
• (أ × ب) × ج = أ × (ب × ج)

أمثلة:

• (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9
• (2 × 3) × 4 = 2 × (3 × 4) = 24

تحليل الخاصية التوزيعية

تتعلق الخاصية التوزيعية (بالإنجليزية: Distributive Properties) بكيفية توزيع عملية الضرب على عمليتي الجمع والطرح. إذا كانت ‘أ’، ‘ب’، و ‘ج’ أعدادًا حقيقية، فإن:

• ج × (أ + ب) = (ج × أ) + (ج × ب)
• ج × (أ – ب) = (ج × أ) – (ج × ب)

أمثلة:

• 2 × (3 + 4) = (2 × 3) + (2 × 4) = 14
• 5 × (س + 2) = (5 × س) + (5 × 2) = 5س + 10

التعرف على خاصية العنصر المحايد

تحدد خاصية العنصر المحايد (بالإنجليزية: The Identity Properties) وجود عناصر لا تغير قيمة العدد عند إجراء عملية الجمع أو الضرب.

• العنصر المحايد لعملية الجمع هو الصفر (0): أ + 0 = أ
• العنصر المحايد لعملية الضرب هو الواحد (1): أ × 1 = أ

أمثلة:

• 7 + 0 = 7
• 9 × 1 = 9

شرح خاصية المعكوس

تصف خاصية المعكوس (بالإنجليزية: Inverse Properties) وجود عددين، عند جمعهما أو ضربهما معًا، ينتج عنهما العنصر المحايد.

• المعكوس الجمعي للعدد ‘أ’ هو ‘-أ’: أ + (-أ) = 0
• المعكوس الضربي للعدد ‘أ’ (حيث أ ≠ 0) هو ‘1/أ’: أ × (1/أ) = 1

أمثلة:

• المعكوس الجمعي للعدد 5 هو -5: 5 + (-5) = 0
• المعكوس الضربي للعدد 2 هو 1/2: 2 × (1/2) = 1

تمارين تطبيقية على سمات الأعداد الحقيقية

فيما يلي أمثلة متنوعة توضح كيفية تطبيق خصائص الأعداد الحقيقية في حل المسائل:

مثال 1: أكمل الفراغات التالية باستخدام خصائص الأعداد الحقيقية:

1. 7 + 3 = ____ + 7
2. س + 15 = 15 + ____
3. 5 × (ص – 2) = ____ × 5
4. (4 × أ + 1) × ____ = (3 × ب – 2) × (4 × أ + 1)
5. (6 + 1) + 3 = 6 + (____)
6. ع + (2 + ك) = (____) + ك

الحلول:

1. 7 + 3 = 3 + 7 (الخاصية التبادلية)
2. س + 15 = 15 + س (الخاصية التبادلية)
3. 5 × (ص – 2) = (ص – 2) × 5 (الخاصية التبادلية)
4. (4 × أ + 1) × (3 × ب – 2) = (3 × ب – 2) × (4 × أ + 1) (الخاصية التبادلية)
5. (6 + 1) + 3 = 6 + (1 + 3) (الخاصية التجميعية)
6. ع + (2 + ك) = (ع + 2) + ك (الخاصية التجميعية)

مثال 2: بسّط العبارة التالية إلى أبسط صورة: 25س + 7ص + 12س + 3ص

الحل: باستخدام الخاصية التجميعية، يمكن جمع الحدود المتشابهة:

25س + 7ص + 12س + 3ص = (25 + 12)س + (7 + 3)ص = 37س + 10ص

مثال 3: أوجد المعكوس الجمعي لكل من القيم التالية:

1. 8
2. -2/5
3. 1.2

الحلول:

1. المعكوس الجمعي للعدد 8 هو -8
2. المعكوس الجمعي للعدد -2/5 هو 2/5
3. المعكوس الجمعي للعدد 1.2 هو -1.2

مثال 4: أوجد المعكوس الضربي لكل من القيم التالية:

1. 4
2. -3
3. 0.5

الحلول:

1. المعكوس الضربي للعدد 4 هو 1/4
2. المعكوس الضربي للعدد -3 هو -1/3
3. العدد 0.5 هو نفسه 1/2، وبالتالي فإن معكوسه الضربي هو 2

مثال 5: حدد الخاصية الممثلة في كل من المعادلات التالية:

1. 3 + (-3) = 0
2. (أ + ب) × 1 = أ + ب
3. 2 × (س + ص) = 2س + 2ص

الحلول:

1. 3 + (-3) = 0 (خاصية المعكوس الجمعي)
2. (أ + ب) × 1 = أ + ب (خاصية العنصر المحايد للضرب)
3. 2 × (س + ص) = 2س + 2ص (الخاصية التوزيعية)