| المحتويات |
فهرس المحتويات
مقدمة حول الفرق بين مكعبين
في علم الجبر، يُعتبر تعبير “الفرق بين مكعبين” حالة خاصة من حالات تحليل المقادير الجبرية. يظهر هذا التعبير في صورة: س³ – ص³. والمقصود هنا أن لدينا حدّين، كل منهما عبارة عن مكعب كامل، وبينهما علامة طرح. يجب أن يكون الحد الأول (س³) مكعباً كاملاً، وكذلك الحد الثاني (ص³). الإشارة بين الحدين ضرورية لتمثيل الفرق بين المكعبين.
طريقة تحليل الفرق بين مكعبين
تحليل الفرق بين مكعبين يعني تحويل التعبير (س³ – ص³) إلى حاصل ضرب عاملين. هذه العملية تتم وفقاً للصيغة التالية:
الفرق بين مكعبين = (الجذر التكعيبي للحد الأول – الجذر التكعيبي للحد الثاني) × (مربع الجذر التكعيبي للحد الأول + حاصل ضرب الجذر التكعيبي للحد الأول في الجذر التكعيبي للحد الثاني + مربع الجذر التكعيبي للحد الثاني)
وبالرموز، يمكن التعبير عن ذلك كالتالي:
(س³ – ص³) = (س – ص) (س² + س ص + ص²)
لتحليل أي تعبير يمثل الفرق بين مكعبين، يجب اتباع الخطوات التالية:
- التأكد من عدم وجود عامل مشترك بين الحدين. إذا وُجد عامل مشترك، يجب استخراجه أولاً.
- فتح قوسين، بحيث تكون العلاقة بينهما ضرب: ( ) × ( )، مع ضرورة كتابة العامل الذي تم إخراجه في الخطوة الأولى خارج القوسين، وضربه بهما.
- تُكتَب في القوس الأول إشارة طرح، وفي القوس الثاني إشارتا جمع: ( – )×( + + )
- حساب الجذر التكعيبى للحَدُّ الأوّل وكتابته دون إشارة في القوس الأول قبل إشارة الطَّرْح، هكذا: (س- )×( + + )
- حساب الجذر التكعيبى للحَدُّ الثاني وكتابته دون إشارة في القوس الأول بعد إشارة الطَّرْح: (س-ص)×( + + )
- تربيع الجذر التكعيبي للحد الأول: (س)²، ويُكتَب في القوس الثاني قبل إشارة الجمع الأولى. (س-ص)×( س² + + )
- إيجاد حاصل ضرب الحد الأول في الحد الثاني: س×ص، ويُكتَب ناتج الضرب في القوس الثاني بين إشارتي الجمع: (س-ص)×( س² + (س×ص)+ )
- تربيع الجذر التكعيبي الحد الثاني: (ص)²، ويُكتَب في القوس الثاني بعد إشارة الجمع الثانية: (س-ص)×( س² +(س×ص)+ص²).
بهذا، يصبح الشكل النهائي للتحليل هو: (س³ – ص³) = (س – ص) (س² + س ص + ص²)
أمثلة توضيحية لتحليل الفرق بين مكعبين
مثال 1:
حلل العبارة التالية: س³ – 27
الحل:
العبارة تمثل الفرق بين مكعبين، حيث أن س³ هو مكعب كامل، والعدد 27 هو مكعب كامل أيضاً (3³). الجذر التكعيبي لـ س³ هو س، والجذر التكعيبي لـ 27 هو 3.
باستخدام الصيغة: س³ – ص³ = (س – ص)(س² + س ص + ص²)
يكون الناتج: س³ – 27 = (س – 3)(س² + 3س + 9)
مثال 2:
حلل العبارة التالية: 64 – 125
الحل:
الحد الأول 125 هو مكعب كامل (5³)، والحد الثاني 64 هو مكعب كامل (4³).
إذن، يمكن كتابة العبارة كالتالي: 64 – 125 = (4)³ – (5)³
باستخدام الصيغة العامة:
(4)³ – (5)³ = (4 – 5) × ((4)² + (4 × 5) + (5)²)
(4)³ – (5)³ = (-1) × (16 + 20 + 25) = -61
مثال 3:
حلل العبارة التالية: س³ – 8
الحل:
العبارة تمثل الفرق بين مكعبين، حيث أن س³ هو مكعب كامل، والعدد 8 هو مكعب كامل أيضاً (2³). الجذر التكعيبي لـ س³ هو س، والجذر التكعيبي لـ 8 هو 2.
باستخدام الصيغة: س³ – ص³ = (س – ص)(س² + س ص + ص²)
يكون الناتج: س³ – 8 = (س – 2)(س² + 2س + 4)
مثال 4:
حلل العبارة التالية: 64س³ – 343ص³
الحل:
لا يوجد عامل مشترك بين الحدين. الحد الأول 64س³ هو مكعب كامل (4س)³، والحد الثاني 343ص³ هو مكعب كامل (7ص)³.
إذن، يمكن كتابة العبارة كالتالي: 64س³ – 343ص³ = (4س)³ – (7ص)³
باستخدام الصيغة العامة:
(4س)³ – (7ص)³ = (4س – 7ص) × ((4س)² + (4س × 7ص) + (7ص)²)
(4س)³ – (7ص)³ = (4س – 7ص) × (16س² + 28س ص + 49ص²)
مثال 5:
حلل العبارة التالية: 250س⁴ – 128س
الحل:
يوجد عامل مشترك بين الحدين وهو 2س. بعد استخراج العامل المشترك، تصبح العبارة: 2س(125س³ – 64)
الحد الأول 125س³ هو مكعب كامل (5س)³، والحد الثاني 64 هو مكعب كامل (4)³.
باستخدام الصيغة: س³ – ص³ = (س – ص)(س² + س ص + ص²)
يكون الناتج: 250س⁴ – 128س = 2س(5س – 4)(25س² + 20س + 16)
مثال 6:
حلل العبارة التالية: 40س³ – 625ص³
الحل:
يوجد عامل مشترك بين الحدين وهو 5. بعد استخراج العامل المشترك، تصبح العبارة: 5(8س³ – 125ص³)
الحد الأول 8س³ هو مكعب كامل (2س)³، والحد الثاني 125ص³ هو مكعب كامل (5ص)³.
باستخدام الصيغة: س³ – ص³ = (س – ص)(س² + س ص + ص²)
يكون الناتج: 40س³ – 625ص³ = 5(2س – 5ص)(4س² + 10س ص + 25ص²)
مثال 7:
حلل العبارة التالية: س³ص⁶ – 64
الحل:
لا يوجد عامل مشترك بين الحدين. الحد الأول س³ص⁶ هو مكعب كامل (س ص²)³، والحد الثاني 64 هو مكعب كامل (4)³.
باستخدام الصيغة: س³ – ص³ = (س – ص)(س² + س ص + ص²)
يكون الناتج: س³ص⁶ – 64 = (س ص² – 4)(س²ص⁴ + 4س ص² + 16)
مثال 8:
حلل العبارة التالية: 27س³ – 1/(8ص³)
الحل:
لا يوجد عامل مشترك بين الحدين. الحد الأول 27س³ هو مكعب كامل (3س)³، والحد الثاني 1/(8ص³) هو مكعب كامل (1/(2ص))³.
باستخدام الصيغة: س³ – ص³ = (س – ص)(س² + س ص + ص²)
يكون الناتج: 27س³ – 1/(8ص³) = (3س – 1/(2ص))(9س² + (3س)/(2ص) + 1/(4ص²))
مثال 9:
حلل العبارة التالية: س³ – 1
الحل:
لا يوجد عامل مشترك بين الحدين. الحد الأول س³ هو مكعب كامل، والحد الثاني 1 هو مكعب كامل.
باستخدام الصيغة: س³ – ص³ = (س – ص)(س² + س ص + ص²)
يكون الناتج: س³ – 1 = (س – 1)(س² + س + 1)
مثال 10:
حلل العبارة التالية: 648س³ – 81
الحل:
يوجد عامل مشترك بين الحدين وهو 3. بعد استخراج العامل المشترك، تصبح العبارة: 3(216س³ – 27)
الحد الأول 216س³ هو مكعب كامل (6س)³، والحد الثاني 27 هو مكعب كامل (3)³.
باستخدام الصيغة: س³ – ص³ = (س – ص)(س² + س ص + ص²)
يكون الناتج: 648س³ – 81 = 3(6س – 3)(36س² + 18س + 9)
مثال 11:
حلل العبارة التالية: 8س³ – 1000
الحل:
العبارة تمثل الفرق بين مكعبين، حيث أن 8س³ هو مكعب كامل (2س)³، والعدد 1000 هو مكعب كامل أيضاً (10)³.
باستخدام الصيغة: س³ – ص³ = (س – ص)(س² + س ص + ص²)
يكون الناتج: 8س³ – 1000 = (2س – 10)(4س² + 20س + 100)
المراجع
- Difference of Two Cubes”,www.mathsisfun.com. Edited.
- Factoring Difference of Cubes”,www.csun.edu,11-9-2018، Retrieved 11-9-2018. Edited.
- factoring a difference of cubes:”,www.mesacc.edu, Retrieved 18-3-2020. Edited.
- Binomials: Sum and Difference of Two Cubes”,www.study.com. Edited.
- Sum and Difference of Cubes”,www.varsitytutors.com, Retrieved 18-3-2020. Edited.
- Sums and Differences of Cubes”,www.purplemath.com, Retrieved 18-3-2020. Edited.
- Difference of Two Cubes “,www.mathopolis.com, Retrieved 18-3-2020. Edited.
- 6.6 Sum and Difference of Cubes”,www.ck12.org, Retrieved 18-3-2020. Edited.
- Read: Special Cases – Cubes”,courses.lumenlearning.com, Retrieved 18-3-2020. Edited.