دليل ترتيب العمليات الحسابية وأولوياتها

مقدمة

عندما نتعامل مع تعبيرات رياضية معقدة تحتوي على عدة عمليات مختلفة، يصبح من الضروري معرفة الترتيب الصحيح لتنفيذ هذه العمليات للحصول على النتيجة الدقيقة. تخيل أنك تحاول حل مسألة مثل (4 + 6 × 2)؛ هل تبدأ بالجمع أم بالضرب؟ البدء بترتيب خاطئ سيؤدي حتماً إلى إجابة غير صحيحة. لذلك، تم وضع مجموعة من القواعد تعرف باسم “أولويات العمليات الحسابية” لتحديد الترتيب الذي يجب اتباعه.

قواعد أولوية العمليات الحسابية

تضمن هذه القواعد التوصل إلى حل موحد وصحيح في كل مرة. فيما يلي عرض تفصيلي لهذه الأولويات:

1. الأقواس: دائماً ما تكون الأولوية لما بداخل الأقواس. إذا وجدت أقواس متداخلة، نبدأ بالقوس الداخلي أولاً. مثال: 5 × (2 + 3) = 5 × 5 = 25.
2. الأسس والجذور: بعد الأقواس، تأتي الأسس (مثل التربيع والتكعيب) والجذور. مثال: 2 + 3² = 2 + 9 = 11.
3. الضرب والقسمة: تأتيان في المرتبة الثالثة. إذا وجدت العمليتان معاً، نبدأ من اليمين إلى اليسار في اللغة العربية. مثال: 10 ÷ 2 × 3 = 5 × 3 = 15.
4. الجمع والطرح: هما العمليتان الأخيرتان في الترتيب. أيضاً، إذا وجدتا معاً، نبدأ من اليمين إلى اليسار في اللغة العربية. مثال: 7 + 4 – 2 = 11 – 2 = 9.

ملاحظات هامة:

• عند وجود عمليات متساوية في الأولوية (مثل ضرب وقسمة متجاورين)، نبدأ بالعملية التي تقع على اليمين.
• في حالة وجود أسس متتالية، يتم حساب الأس من الأعلى إلى الأسفل.

تطبيقات وتمارين على ترتيب العمليات

لتوضيح كيفية تطبيق هذه القواعد، نقدم فيما يلي مجموعة من الأمثلة المتنوعة:

1. مثال 1: ما هي نتيجة العملية الحسابية التالية: 15 ÷ 3 × 2 ÷ 5؟
   
   الحل: نبدأ من اليمين إلى اليسار: 15 ÷ 3 = 5، ثم 5 × 2 = 10، ثم 10 ÷ 5 = 2. الناتج النهائي هو 2.
2. مثال 2: احسب قيمة: 5 + 4².
   
   الحل: الأولوية للأسس: 4² = 16، ثم 5 + 16 = 21. الناتج هو 21.
3. مثال 3: أوجد قيمة: 6 + (-2 × (-3 – 1))².
   
   الحل: نبدأ بالقوس الداخلي: 6 + (-2 × (-4))²، ثم الضرب داخل القوس: 6 + (8)²، ثم الأس: 6 + 64 = 70. الناتج هو 70.
4. مثال 4: أوجد قيمة: 16 – 3 × (8 – 3)² ÷ 5
   
   الحل: نبدأ بالقوس الداخلي: 16 – 3 × (5)² ÷ 5، ثم الأس: 16 – 3 × 25 ÷ 5، ثم الضرب والقسمة من اليمين لليسار: 16 – 75 ÷ 5 = 16- 15= 1. الناتج هو 1.
5. مثال 5: أوجد قيمة: 6 × 3 + 4 × (9 ÷ 3)
   
   الحل: نبدأ بالقوس الداخلي: 6 × 3 + 4 × 3، ثم الضرب من اليمين لليسار: 18 + 12 = 30. الناتج هو 30.
6. مثال 6: أوجد قيمة: 3 + 6 × (5 + 4) ÷ 3 – 7
   
   الحل: نبدأ بالقوس الداخلي: 3 + 6 × 9 ÷ 3 – 7، ثم الضرب والقسمة من اليمين لليسار: 3 + 54 ÷ 3 – 7 = 3 + 18 – 7 = 21-7 = 14. الناتج هو 14.
7. مثال 7: أوجد قيمة: 9 – 5 ÷ (8 – 3) × 2 + 6
   
   الحل: نبدأ بالقوس الداخلي: 9 – 5 ÷ 5 × 2 + 6، ثم الضرب والقسمة من اليمين لليسار: 9 – 1 × 2 + 6 = 9 – 2 + 6 = 7+6 = 13. الناتج هو 13.
8. مثال 8: أوجد قيمة: 4- 3×(20-3×4-(2+4))÷2
   
   الحل: نبدأ بالقوس الداخلي: 4- 3×(20-3×4-6)÷2 ، ثم الضرب داخل القوس : 4- 3×(20-12-6)÷2 = 4- 3×(8-6)÷2 = 4- 3×2÷2 = 4-6÷2 = 4-3 = 1. الناتج هو 1.
9. مثال 9: أوجد قيمة: 20-(3×2³-5)
   
   الحل: نبدأ بالقوس الداخلي ثم الأس: 20-(3×8-5)، ثم الضرب داخل القوس : 20-(24-5)، ثم الطرح داخل القوس = 20-19 = 1. الناتج هو 1.
10. مثال 10: أوجد قيمة: (5+2)²-9×3+2³
    
    الحل: نبدأ بالقوس : (7)²-9×3+2³ ، ثم الأس من اليمين لليسار: 49-9×3+8، ثم الضرب 49-27+8، ثم الطرح والجمع :22+8 = 30. الناتج هو 30.
11. مثال 11: أوجد قيمة: (5²-5)÷(4²+8-7×2)
    
    الحل: نبدأ بالقوس : (25-5)÷(16+8-14)، ثم الطرح والجمع من اليمين لليسار: 20÷(24-14) = 20÷10=2. الناتج هو 2.
12. مثال 12: أوجد قيمة: (7-9√)×(4²-3+1)
    
    الحل: نبدأ بالقوس : (7-3)×(16-3+1)، ثم الطرح والجمع من اليمين لليسار: 4×(13+1) = 4×14= 56. الناتج هو 56.

الأولويات في العمليات الحسابية بالحاسوب

تتبع الحواسيب نفس القواعد التي نستخدمها لحل العمليات الحسابية يدويًا. يُعرف هذا الترتيب في مجال الحاسوب باسم “أسبقية المعاملات”.

مثال: كيف يحل الحاسوب العملية التالية: 4 + 2 × (8 – 3)؟

1. أولاً: يتم حساب ما بداخل الأقواس: (8 – 3) = 5.
2. ثانياً: يتم إجراء عملية الضرب: 2 × 5 = 10.
3. أخيراً: يتم الجمع: 4 + 10 = 14.

إذن، الناتج النهائي هو 14.

مثال آخر: ما هي طريقة حل المسألة الرياضية الآتية حسب أولويات العمليات الحسابية في الحاسوب؟ 3×6÷3+ 12+ (20 + 5)

1. تُجرى العملية الموجودة بين الأقواس التي تمتلك الأولوية حسب قاعدة أسبقية المُعامل وذلك بجمع العدد 20 إلى العدد 5 ليصبح الناتج 25، لتُصبح المعادلة: 3 × 6 ÷ 3+12+25.
2. تُجرى عملية الضرب وذلك بضرب العدد 3 في العدد 6 ليُصبح الناتج 18، لتُصبح المعادلة: 18 ÷ 3+12+25.
3. تُجرى عملية القسمة وذلك بقسمة الناتج عن عملية الضرب أي العدد 18 على العدد 3 ليصبح الناتج 6، لتُصبح المعادلة: 6 + 12 + 25.
4. يُجمع كل من العدد 6 مع العدد 12 ليصبح الناتج 18 الذي يُجمع مع العدد 25 ليصبح الناتج النهائي: 18 + 25= 43.

خلاصة

إن فهم واتباع أولويات العمليات الحسابية أمر ضروري لحل المسائل الرياضية بشكل صحيح، سواء كانت هذه المسائل بسيطة أو معقدة، سواء تم حلها يدويًا أو باستخدام الحاسوب. تذكر دائماً: الأقواس، الأسس، الضرب والقسمة، ثم الجمع والطرح.