فهرس المحتويات
مفهوم المصفوفات
المصفوفة عبارة عن تنظيم للأرقام أو الرموز في صفوف وأعمدة. ويمكن النظر إليها كهيكل بيانات ثنائي الأبعاد.
وتستخدم المصفوفات لتمثيل البيانات الرقمية وتنظيمها بطريقة مفيدة، وتمكننا من إجراء عمليات حسابية معقدة بسهولة. يتم تعريف حجم المصفوفة بعدد الصفوف وعدد الأعمدة، على سبيل المثال، مصفوفة بحجم 2×3 تعني أنها تتكون من صفين وثلاثة أعمدة.
السمات المميزة للمصفوفات
تتكون المصفوفة من عناصر، ويمكن أن تكون هذه العناصر أرقامًا أو رموزًا أو تعابير جبرية. من أهم خصائص المصفوفات:
- التساوي في الحجم: تتساوى مصفوفتان في الحجم إذا كان لهما نفس عدد الصفوف والأعمدة.
- الترميز: يتم تسمية المصفوفات بأحرف كبيرة في اللغة الإنجليزية وأي حرف في اللغة العربية، بينما يتم ترميز العناصر بأحرف صغيرة مع الإشارة إلى رقم الصف والعمود. على سبيل المثال، العنصر في الصف الأول والعمود الأول في المصفوفة (أ) يرمز له بالرمز أ1,1.
مثال:
لنفترض لدينا المصفوفة (س):
| +1 +5 +9 |
| +2 +6 +10|
في هذه المصفوفة:
- س1,1: العنصر الموجود في الصف الأول والعمود الأول ويساوي 1.
- س2,3: العنصر الموجود في الصف الثاني والعمود الثالث ويساوي 10.
تصنيفات المصفوفات
توجد أنواع مختلفة من المصفوفات، ولكل نوع خصائصه واستخداماته. من بين هذه الأنواع:
- المصفوفة المربعة: يكون فيها عدد الصفوف مساويًا لعدد الأعمدة.
- مصفوفة الصف: تتكون من صف واحد فقط. مثال: | أ ب ج |
- مصفوفة العمود: تتكون من عمود واحد فقط. مثال: | أ | | ب | | ج |
- المصفوفة الصفرية: جميع عناصرها أصفار. مثال: | 0 0 | | 0 0 |
- المصفوفة القطرية: مصفوفة مربعة تكون عناصرها فقط على القطر الرئيسي، وباقي العناصر أصفار. مثال: | أ 0 0 | | 0 ب 0 | | 0 0 ج |
- المصفوفة القياسية: مصفوفة قطرية تكون جميع عناصر القطر الرئيسي متساوية. مثال: | أ 0 0 | | 0 أ 0 | | 0 0 أ |
- المصفوفة المثلثية العليا: مصفوفة مربعة تكون جميع العناصر تحت القطر الرئيسي أصفارًا. مثال: | أ ب ج | | 0 د ه | | 0 0 و |
- المصفوفة المثلثية السفلى: مصفوفة مربعة تكون جميع العناصر فوق القطر الرئيسي أصفارًا. مثال: | أ 0 0 | | ب د 0 | | ج هـ و |
- مصفوفة الوحدة: مصفوفة قطرية مربعة تكون جميع عناصر القطر الرئيسي واحدًا. وهي عنصر محايد في عملية ضرب المصفوفات. مثال: | 1 0 0 | | 0 1 0 | | 0 0 1 |
إجراء العمليات الحسابية على المصفوفات
يمكن إجراء العديد من العمليات الحسابية على المصفوفات، بما في ذلك الجمع، الطرح، والضرب.
عمليتا الجمع والطرح
لجمع أو طرح مصفوفتين، يجب أن يكون لهما نفس الحجم. يتم الجمع والطرح عن طريق جمع أو طرح العناصر المتناظرة في المصفوفتين.
مثال:
إذا كانت لدينا المصفوفتان:
أ = | 1 2 | | 3 4 |
ب = | 5 6 | | 7 8 |
فإن:
أ + ب = | 1+5 2+6 | | 3+7 4+8 | = | 6 8 | | 10 12 |
أ – ب = | 1-5 2-6 | | 3-7 4-8 | = | -4 -4 | | -4 -4 |
عملية الضرب
هناك نوعان رئيسيان لضرب المصفوفات: الضرب بعدد ثابت وضرب مصفوفتين.
الضرب بعدد ثابت
يتم ضرب كل عنصر في المصفوفة بالعدد الثابت.
مثال:
إذا كانت لدينا المصفوفة:
أ = | 1 2 | | 3 4 |
وعدد ثابت (ك) = 2
فإن:
ك × أ = 2 × | 1 2 | | 3 4 | = | 2 4 | | 6 8 |
ضرب مصفوفتين
لضرب مصفوفتين، يجب أن يكون عدد أعمدة المصفوفة الأولى مساويًا لعدد صفوف المصفوفة الثانية. نتيجة الضرب ستكون مصفوفة عدد صفوفها يساوي عدد صفوف المصفوفة الأولى وعدد أعمدتها يساوي عدد أعمدة المصفوفة الثانية.
مثال:
إذا كانت لدينا المصفوفتان:
أ = | 1 2 | | 3 4 |
ب = | 5 6 | | 7 8 |
فإن:
أ × ب = | (1×5 + 2×7) (1×6 + 2×8) | | (3×5 + 4×7) (3×6 + 4×8) | = | 19 22 | | 43 50 |
حساب قيمة المحدد
محدد المصفوفة هو قيمة عددية يمكن حسابها للمصفوفات المربعة فقط. يستخدم المحدد في حل المعادلات الخطية وإيجاد المصفوفة العكسية.
المصفوفات ذات البعد 2×2
إذا كانت لدينا المصفوفة:
أ = | أ ب | | ج د |
فإن المحدد |أ| = (أ × د) – (ب × ج).
مثال:
إذا كانت لدينا المصفوفة:
أ = | 2 3 | | 4 5 |
فإن المحدد |أ| = (2 × 5) – (3 × 4) = 10 – 12 = -2.
المصفوفات ذات البعد 3×3
إذا كانت لدينا المصفوفة:
أ = | أ ب ج | | د هـ و | | ز ح ط |
فإن المحدد |أ| = أ × (هـ × ط – و × ح) – ب × (د × ط – و × ز) + ج × (د × ح – هـ × ز).
مثال:
إذا كانت لدينا المصفوفة:
أ = | 1 2 3 | | 4 5 6 | | 7 8 9 |
فإن المحدد |أ| = 1 × (5×9 – 6×8) – 2 × (4×9 – 6×7) + 3 × (4×8 – 5×7) = 0.
المصفوفة العكسية
المصفوفة العكسية لمصفوفة (أ) هي المصفوفة التي إذا ضربت في (أ) تعطي مصفوفة الوحدة. ليس لكل المصفوفات مصفوفة عكسية.
إذا كانت لدينا المصفوفة:
أ = | أ ب | | ج د |
فإن:
أ-1 = 1/محدد(أ) * | د -ب | | -ج أ |
تمارين وتطبيقات
فيما يلي بعض التمارين لتطبيق المفاهيم التي تعلمناها:
- أوجد ناتج جمع المصفوفتين: | 1 2 | | 3 4 | + | 5 6 | | 7 8 |
- أوجد ناتج ضرب المصفوفتين: | 1 2 | | 3 4 | × | 5 6 | | 7 8 |
- أوجد محدد المصفوفة: | 2 3 | | 4 5 |
مثال محلول:
إذا كان عدد الصفوف في مصفوفة ما 3 صفوف، و 5 أعمدة، فإنه يمكن جمعها إلى مصفوفة أخرى فقط إذا كان عدد صفوفها أيضاً 3 صفوف، وعدد أعمدتها هو 5 أعمدة، وفي المقابل لا يمكن مثلاً جمعها إلى مصفوفة أخرى عدد الصفوف فيها 3 صفوف، وعدد أعمدتها هو 4 أعمدة، ويتم جمع المصفوفتين عن طريق جمع كل عنصرين متطابقين في الموقع بين المصفوفتين، وكذلك الأمر بالنسبة لعملية الطرح، والمثالان الآتيان يوضّحان ذلك:[٧]
الحل:
| +3 +8 | + | +4 صفر | = | +7 +8 |
| +4 +6 | + | +1 − 9 | = | +5 – 3 |
المصادر والمراجع
- كتاب الجبر الخطي.
- مواقع تعليمية على الإنترنت مثل Khan Academy.
