دراسة في الدوال الرياضية وأنواعها

مقدمة عن الدوال

في عالم الرياضيات، تمثل الدالة (Function) علاقة رياضية تربط بين متغيرين، أحدهما يُعرف بالمتغير المستقل والآخر بالمتغير التابع. هذا المفهوم، الذي قام عالم الرياضيات الألماني بيتر ديريتشليت بتعريفه بشكل حديث في عام 1837، يمكن التعبير عنه بالصيغة: ص = ق (س). هذه الصيغة تعني أن لكل قيمة للمتغير س توجد قيمة فريدة للمتغير ص. بمعنى آخر، تقوم الدالة بربط كل عنصر س بعنصر ق (س)، مكونة أزواجًا مرتبة.

تُعرف مجموعة القيم الممكنة للمتغير س بـ “مجال الدالة”، بينما تُعرف مجموعة القيم الناتجة للمتغير ص بـ “مدى الدالة”.

تصنيفات الدوال الرياضية

تتنوع الدوال الرياضية بشكل كبير، ولكل نوع خصائصه واستخداماته المميزة. فيما يلي استعراض لأهم أنواع الدوال:

الدالة الخطية: تعريف وخصائص

يمكن تمثيل الدالة الخطية بالعلاقة التالية: ق (س) = أ س + ج. تُصنف الدالة كخطية إذا تحققت الشروط التالية:

• أن تكون الدالة كثيرة حدود من الدرجة الأولى.
• عند تمثيل الدالة بيانيًا، تكون النتيجة خطًا مستقيمًا.

حيث أن:

• أ، ج: أعداد حقيقية ثابتة، و أ لا تساوي صفر.
• س: أعداد متغيرة.

الدالة التربيعية: بناء وتطبيقات

فيما يلي بعض الحقائق حول الدالة التربيعية:

• تسمى الدالة بالدالة التربيعية عندما تكون درجة الدالة كثيرة الحدود هي 2.
• مجال ومدى الدالة التربيعية هما مجموعة الأعداد الحقيقية.
• التمثيل البياني للدالة التربيعية يكون على شكل الحرف U.

الصورة العامة للدالة التربيعية هي: ق (س) = أ س^2 + ب س + ج.

حيث أن:

• أ، ب، ج: أعداد حقيقية ثابتة، و أ لا تساوي صفر.
• س: أعداد متغيرة.

الدالة التكعيبية: تحليل وتمثيل

فيما يلي بعض المعلومات حول الدالة التكعيبية:

• تسمى الدالة بالدالة التكعيبية عندما تكون درجة الدالة كثيرة الحدود هي 3.
• مجال ومدى هذه الدالة هما مجموعة الأعداد الحقيقية.

يمكن التعبير عن هذه الدالة بالعلاقة التالية: ق(س) = أس^3 + ب س^2 + ج س + د

حيث أن:

• أ، ب، ج، د: أعداد حقيقية ثابتة، و أ لا تساوي صفر.
• س: أعداد متغيرة.

الدالة الثابتة: طبيعتها واستخداماتها

فيما يلي بعض الحقائق حول الدالة الثابتة:

• تسمى الدالة بالدالة الثابتة عندما تكون درجة الدالة هي صفر.
• عند تمثيل الدالة الثابتة بيانيًا، تكون النتيجة عبارة عن خط مستقيم موازٍ لمحور السينات.
• مجال الدالة الثابتة هو مجموعة الأعداد الحقيقية، بينما مداها ثابت (ج).

يعبر عن الدالة الثابتة بالعلاقة الآتية: ق (س) = ج

دالة أكبر عدد صحيح: مفهومها وأمثلة

فيما يلي بعض المعلومات حول دالة أكبر عدد صحيح:

• دالة أكبر عدد صحيح تعني تقريب كل عدد حقيقي إلى أكبر عدد صحيح أقل من أو يساوي س.

تكون الصورة العامة لدالة أكبر عدد صحيح كالآتي: ق(س)= [س].

فعلى سبيل المثال؛ [-21] = -21، [5.12] = 5.

الدالة العكسية: شروط الوجود وكيفية الإيجاد

فيما يلي بعض المعلومات حول الدالة العكسية:

• تتمثل الدالة العكسية بالعلاقة العكسية للدالة الأصلية.

يمكن التعبير عن الدالة العكسية بالعلاقة الآتية: ق−1(س).

يمكن التبديل في هذه الدالة بين عناصر المجال (س) والمدى (ص) في نفس الدالة.

نظرة على الدوال المثلثية

توجد ست دوال للزوايا المثلثية في المثلث القائم الزاوية، وهي:

• اقتران الجيب ويرمز له بالرمز (جا).
• اقتران جيب التمام ويرمز له بالرمز (جتا).
• اقتران الظل ويرمز له بالرمز (ظا).
• اقتران ظل التمام ويرمز له بالرمز (ظتا).
• اقتران القاطع ويرمز له بالرمز (قا).
• واقتران قاطع التمام ويرمز له بالرمز (قتا).