فهرس المحتويات
- الدوال الخطية
- الدوال التربيعية
- الدوال التكعيبية
- الدوال المتشعبة
- الدوال العكسية
- الدوال المحايدة
- دالة أكبر عدد صحيح
- دالة القيمة المطلقة
- الدوال الأسية
- الدوال اللوغاريتمية
- الدوال المركبة
- الدوال المثلثية
- الدوال الثابتة
نظرة متعمقة في الدوال الخطية
تُعرف الدالة الخطية بأنها دالة تحتوي على متغير واحد أو متغيرين، كل منهما مرفوع إلى الأس واحد. صيغتها العامة هي: ق(س) = أس + ب، حيث أ و ب عددان حقيقيان، و أ ≠ 0. يمثل تمثيلها البياني خطًا مستقيمًا، يكون متزايدًا إذا كانت قيمة أ > 0، ومتناقصًا إذا كانت قيمة أ < 0. مجال ومدى هذه الدالة هما مجموعة الأعداد الحقيقية.
استكشاف خصائص الدوال التربيعية
الدالة التربيعية هي دالة كثيرة حدود من الدرجة الثانية، وصيغتها العامة: ق(س) = أس² + ب س + ج، حيث أ، ب، ج أعداد حقيقية، و أ ≠ 0. تتميز هذه الدالة بوجود حلّين، ويمثل تمثيلها البياني منحنىً على شكل حرف U (مفتوحًا لأعلى إذا كانت أ > 0، ومفتوحًا لأسفل إذا كانت أ < 0). تُستخدم الدوال التربيعية في العديد من التطبيقات العملية، مثل حساب ارتفاع الأنفاق.
فهم الدوال التكعيبية
تُعرف الدالة التكعيبية بأنها دالة كثيرة حدود من الدرجة الثالثة، وصيغتها العامة: ق(س) = أس³ + ب س² + ج س + د، حيث أ، ب، ج، د أعداد حقيقية، و أ ≠ 0. مجال ومدى هذه الدالة هما جميع الأعداد الحقيقية.
الدوال المتشعبة: تعريف و أمثلة
تتكون الدالة المتشعبة من أكثر من قاعدة، ولكل قاعدة مجال محدد يختلف عن المجالات الأخرى. يختلف المدى بناءً على شروط محددة. مثال: ق(س) = { س² + 1، إذا كان س ≥ 1 ؛ س – 5، إذا كان س < 1 }
الدوال العكسية: مفهوم وخصائص
في الدالة العكسية، يتم تبديل المجال والمدى، حيث يصبح المجال هو المدى، والمدى هو المجال. تُكتب الدالة العكسية بالصيغة ق⁻¹. مثال: إذا كانت ق = {(1،1)، (2،3)، (5،3)}، فإن ق⁻¹ = {(1،1)، (3،2)، (3،5)}.
الدوال المحايدة: شرح مبسط
في الدالة المحايدة، يكون لكل عنصر في المجال نفس القيمة في المدى. تُكتب على الصورة ق(س) = س.
دالة أكبر عدد صحيح: شرح و أمثلة
تُكتب دالة أكبر عدد صحيح بالصيغة ق(س) = [س]، حيث تُربط قيم س بأكبر عدد صحيح أقل من أو يساوي س. يُطلق عليها أيضًا اسم الدالة الدرجية، نظرًا لشكل منحناها.
دالة القيمة المطلقة: تعريف وخصائص
تحوّل دالة القيمة المطلقة قيمة س دائمًا إلى قيمة موجبة. صيغتها العامة: ق(س) = |س|. مجالها جميع الأعداد الحقيقية، ومداها جميع الأعداد الحقيقية الأكبر من أو تساوي صفر.
الدوال الأسية: تطبيقاتها في الحياة العملية
تُكتب الدالة الأسية بالصيغة ق(س) = أ س، حيث أ ≠ 1، أ > 0. تُستخدم الدوال الأسية في العديد من التطبيقات، مثل حساب عدد السكان ومسائل تضاعف الكميات خلال فترة زمنية ثابتة.
الدوال اللوغاريتمية: العلاقة مع الدوال الأسية
تُشتق الدالة اللوغاريتمية من الدالة الأسية، وهي معكوسة لها. تُكتب بالصيغة ق(س) = لو ه س (حيث ه هو العدد النيبيري) أو ق(س) = لو₁₀ س. مجالها جميع الأعداد الحقيقية الموجبة، ومداها جميع الأعداد الحقيقية.
الدوال المركبة: تعريف وخصائص
تنتج الدالة المركبة من تركيب دالتين، وتُكتب بالصيغة (ق ه ه)(س).
الدوال المثلثية: الجيب، جيب التمام، الظل
تحتوي الدوال المثلثية على الجيب (جا)، وجيب التمام (جتا)، والظل (ظا)، بالإضافة إلى الظتا (ظتا)، والقاطع (قا)، والقتا (قتا). مثال: ق(س) = 3 جتا س.
الدوال الثابتة: خصائصها و تمثيلها البياني
يتكون مدى الدالة الثابتة من عنصر واحد فقط، وتُكتب بالصيغة ق(س) = ج، حيث ج عدد حقيقي. مجالها جميع الأعداد الحقيقية، ومداها {ج}. يمثل تمثيلها البياني خطًا مستقيمًا أفقيًا يوازي محور السينات، ويبعد عنه بمقدار ج.
