مقدمة في المثلثات
المثلث هو شكل هندسي أساسي، يعرف بأنه مضلع مغلق ذو بعدين يتكون من ثلاثة أضلاع مستقيمة. هذه الأضلاع تتقاطع لتشكل ثلاث زوايا وثلاثة رؤوس. يتم تعريف المثلث عادةً بالإشارة إلى رؤوسه. الخاصية الهامة للمثلث هي أن مجموع قياسات زواياه الداخلية يساوي دائمًا 180 درجة.
تترافق الزاوية الأصغر داخل المثلث دائمًا مع الضلع الأقصر، بينما تتوافق الزاوية الأكبر مع الضلع الأطول. من بين المصطلحات الأساسية المتعلقة بالمثلث:
- الرأس: هي نقطة التقاء ضلعين في المثلث، وتشكل زاوية المثلث.
- القاعدة: أي ضلع في المثلث يمكن اعتباره قاعدة، ولكن عادةً ما يكون الضلع الأفقي السفلي. في المثلث متساوي الساقين، غالبًا ما تكون القاعدة هي الضلع الذي يختلف عن الضلعين الآخرين. تُستخدم القاعدة لحساب مساحة المثلث.
- المتوسط: قطعة مستقيمة تصل بين رأس المثلث ومنتصف الضلع المقابل. تتقاطع المتوسطات الثلاثة في نقطة واحدة تسمى مركز المثلث.
- الارتفاع: هو الخط العمودي المرسوم من القاعدة إلى الرأس المقابل لها. بما أن للمثلث ثلاث قواعد محتملة، فإنه يمتلك ثلاثة ارتفاعات، وتتقاطع في نقطة تعرف بملتقى الارتفاعات.
السمات المميزة للمثلث
بالإضافة إلى التعريف السابق، يتميز المثلث بخصائص فريدة منها:
- إذا قطع مستقيم أحد أضلاع المثلث موازيًا له وقطع الضلعين الآخرين، فإنه يقسم المثلث إلى أجزاء متناسبة ومثلثات متشابهة.
- دائمًا ما يكون مجموع طولي أي ضلعين في المثلث أكبر من طول الضلع الثالث. بالمثل، يكون الفرق بين طولي أي ضلعين أصغر من طول الضلع الثالث.
- قياس الزاوية الخارجية للمثلث يساوي مجموع قياس الزاويتين الداخليتين البعيدتين عنها. مجموع قياسات الزوايا الخارجية للمثلث هو 360 درجة.
- في المثلث متساوي الساقين والمثلث متساوي الأضلاع، ينصف الارتفاع القاعدة ويقسم المثلث إلى مثلثين متطابقين.
أصناف المثلثات
تصنيف المثلثات تبعاً لأطوال الأضلاع
يمكن تقسيم المثلثات بناءً على أطوال أضلاعها إلى الأنواع التالية:
- المثلث متساوي الأضلاع: هو مثلث تكون جميع أضلاعه متساوية في الطول، وبالتالي تكون جميع زواياه متساوية أيضًا، وكل منها تساوي 60 درجة.
- المثلث متساوي الساقين: هو مثلث يكون فيه ضلعان متساويين في الطول. الزاويتان المقابلتان لهذين الضلعين (زاويتا القاعدة) تكونان متساويتين أيضًا.
- المثلث مختلف الأضلاع: هو مثلث لا توجد فيه أضلاع متساوية في الطول، وبالتالي تكون جميع زواياه مختلفة في القياس.
تصنيف المثلثات وفقاً للزوايا
تصنف المثلثات حسب قياس زواياها على النحو التالي:
- المثلث حاد الزوايا: هو مثلث تكون فيه جميع الزوايا الداخلية حادة، أي أن قياس كل زاوية أقل من 90 درجة.
- المثلث قائم الزاوية: هو مثلث يحتوي على زاوية قائمة واحدة، أي قياسها 90 درجة. من بين أنواع المثلثات القائمة الزاوية الخاصة:
- المثلث (90-45-45): هو مثلث قائم الزاوية تكون فيه الزاويتان الأخريان متساويتين وقياس كل منهما 45 درجة. هذا المثلث هو أيضًا متساوي الساقين، وتكون أضلاعه متناسبة بنسبة 1:1:√2.
- المثلث (90-60-30): هو مثلث قائم الزاوية تكون فيه إحدى الزوايا 60 درجة والأخرى 30 درجة. هذا المثلث غير متساوي الساقين ومختلف الأضلاع، وتكون أضلاعه متناسبة بنسبة 1:√3:2.
- المثلث منفرج الزاوية: هو مثلث يحتوي على زاوية منفرجة واحدة، أي قياسها أكبر من 90 درجة.
تطبيقات متنوعة على أنواع المثلثات
قد يجمع المثلث بين اسمين، على سبيل المثال، يمكن أن يكون المثلث قائم الزاوية ومتساوي الساقين في الوقت نفسه.
في المثلث قائم الزاوية، يُطلق على الضلع المقابل للزاوية القائمة اسم الوتر، بينما يُسمى الضلعان الآخران بالساقين. يمكن استخدام نظرية فيثاغورس لإيجاد أطوال أضلاع المثلث القائم الزاوية: (الوتر)² = (الضلع الأول)² + (الضلع الثاني)².
يكون الارتفاع في المثلث قائم الزاوية هو أحد الضلعين المتعامدين على الضلع الآخر.
مثال 1: إذا كان قياس إحدى زوايا المثلث 115°، فما نوع هذا المثلث حسب الزوايا؟
الحل: بما أنه يحتوي على زاوية منفرجة قياسها 115°، فهو مثلث منفرج الزاوية.
مثال 2: المثلث أب ج، إذا كان أب=5 سم، ب ج=12 سم، أج=13 سم، وكان أب يعامد ب ج، فما نوع هذا المثلث حسب أضلاعه؟
الحل: بما أن أطوال أضلاعه مختلفة، فهو مثلث مختلف الأضلاع.
مثال 3: مثلث قياس زواياه هي: 46°، 63°، 71°، فما نوع هذا المثلث؟
الحل: بما أن قياس كل زاوية من زواياه أقل من 90 درجة، فهو مثلث حاد الزوايا.
التشابه والتطابق في المثلثات
تطابق المثلثات: يكون المثلثان متطابقين إذا كان لهما نفس الشكل والحجم، وبالتالي نفس الزوايا. يرمز للتطابق بالرمز (≅). شروط التطابق:
- تساوي أطوال الأضلاع (SSS): يتطابق المثلثان إذا تساوت أطوال الأضلاع الثلاثة في كلا المثلثين.
- تساوي طولي ضلعين وقياس الزاوية بينهما (SAS): يتطابق المثلثان إذا تساوى طول ضلعين والزاوية المحصورة بينهما في كلا المثلثين.
- تساوي قياس زاويتين وطول الضلع المشترك بينهما (ASA): يتطابق المثلثان إذا تساوى قياس زاويتين والضلع المشترك بينهما في كلا المثلثين.
- تساوي طول وتر المثلث وأحد الأضلاع (HL): في المثلثات القائمة الزاوية، يتطابق المثلثان إذا تساوى طول الوتر وأحد الضلعين.
تشابه المثلثات: يكون المثلثان متشابهين إذا كان لهما نفس الزوايا، لكنهما مختلفان في الحجم وأضلاعهما متناسبة. يرمز للتشابه بالرمز (∽). شروط التشابه:
- تناسب جميع الأضلاع (SSS): يتشابه المثلثان إذا تناسبت أطوال الأضلاع المتناظرة فيهما.
- ضلعان وزاوية محصورة بينهما (SAS): يتشابه المثلثان إذا تساوى قياس زاوية وتناسبت أطوال الضلعين اللذين يحصران هذه الزاوية.
- تطابق الزوايا (AAA): يتشابه المثلثان إذا تساوى قياس ثلاث زوايا متناظرة في كليهما.
حساب مساحة ومحيط المثلث
مساحة المثلث هي مقدار الفراغ المحصور داخله. يمكن حسابها بعدة طرق:
- باستخدام القاعدة والارتفاع: مساحة المثلث = ½ × طول القاعدة × الارتفاع
- باستخدام صيغة هيرون: المساحة = √(س × (س-أ) × (س-ب) × (س-ج))، حيث س = ½ × (أ+ب+ج)
- باستخدام طولي ضلعين والزاوية المحصورة بينهما: المساحة = ½ × أ × ج × جا(ب)
محيط المثلث هو المسافة المحيطة بحوافه، ويحسب بجمع أطوال أضلاعه الثلاثة: محيط المثلث = الضلع الأول + الضلع الثاني + الضلع الثالث.
بعض القواعد الهامة المتعلقة بالمثلثات
بفرض أن مثلث أطوال أضلاعه هي: أ، ب، ج، وقياس زواياه المقابلة للأضلاع هي: اَ، بَ، جَ:
- قانون الجيب: أ÷جا(أَ)=ب÷جا(بَ)= ج÷جا(جَ)
- قانون جيب التمام: أ²=ب²+ج²-2×ب×ج×جتا(أَ)، أوب²=أ²+ج²-2×أج×جتا(بَ)، أوج²=ب²+أ²-2×ب×أ×جتا(جَ)
قال تعالى: ﴿وَإِذْ أَخَذْنَا مِيثَاقَ بَنِي إِسْرَائِيلَ لَا تَعْبُدُونَ إِلَّا اللَّهَ وَبِالْوَالِدَيْنِ إِحْسَانًا وَذِي الْقُرْبَى وَالْيَتَامَى وَالْمَسَاكِينِ وَقُولُوا لِلنَّاسِ حُسْنًا وَأَقِيمُوا الصَّلَاةَ وَآتُوا الزَّكَاةَ ثُمَّ تَوَلَّيْتُمْ إِلَّا قَلِيلًا مِنْكُمْ وَأَنْتُمْ مُعْرِضُونَ﴾ [البقرة: 83]
عن أبي هريرة رضي الله عنه قال: قال رسول الله صلى الله عليه وسلم: “المؤمن للمؤمن كالبنيان يشد بعضه بعضاً”. ثم شبك بين أصابعه. [متفق عليه].
نماذج محلولة على المثلثات
مثال 1: مثلثان متشابهان، أطوال أضلاع المثلث الأول هي: أ، 3 سم، وأطوال أضلاع المثلث الثاني المقابلة لها هي: 14، 21 سم، ما هي قيمة أ؟
الحل: بما أن المثلثين متشابهين، فالنسبة بين أطوال أضلاعهما متساوية: (3/21)= 0.14. حساب طول الضلع (أ): (أ/14)=0.14، ومنه أ=2 سم.
مثال 2: إذا كان المثلث أب ج مثلث قائم الزاوية في ج، وكانت د نقطة على الوتر أب، وكان ج د يعامد أب، وقياس الزاوية دأج=°65، فما هو قياس كل من الزوايا: أج د، أب ج؟
الحل: مجموع زوايا المثلث ∆أج د=180، ومنه ∠أد ج+∠دأج+∠أج د=180، 90+65+∠أج د=180، ومنه ∠أج د=°25. بما أن أج يعامد أج فإن الزاوية أج ب=90 درجة، وهي تساوي ∠ب ج د+∠أج د، ومنه: ∠ب ج د+∠25=90، ومنه ∠ب ج د=°65. مجموع زوايا المثلث ∆ب دج=180، ومنه ∠ج ب د+∠ب دج+∠ ب ج د=180، ∠ج ب د+90+65=180، ومنه ∠ج ب د=°25، والزاويتان ∠أب ج=∠ج ب د=°25.
مثال 3: مثلث طول قاعدته 4 سم، وارتفاعه 10 سم، ما هي مساحته؟
الحل: المساحة= ½×4×10=20 سم².
مثال 4: مثلث أطوال أضلاعه: 5، 6، 7 وحدة طول، ما هي مساحته؟
الحل: باستخدام صيغة هيرون ينتج أن ∆=14.7 وحدة².
مثال 5: مثلث متساوي الساقين، طول أحد ساقيه 6 سم، وقياس زاوية الرأس هو °36.4، ما هو قياس زوايتي القاعدة؟
الحل: قياس زاوية القاعدة=° 71.8.
مثال 6: مثلث متساوي الساقين، قياس زاوية الرأس هو °100، ما هو قياس زوايتي القاعدة؟
الحل: قياس زوايا القاعدة: ° 40.
مثال 7: مثلث طول ضلعيه هو: ج=7 سم، ب=8 سم، وقياس الزاوية المقابلة للضلع أ (∠أَ)=°33، ما هو طول الضلع(أ)، وقياس باقي الزوايا؟
الحل: طول الضلع أ=4.37 سم، و قياس الزاوية بَ=°86.18، و قياس الزاوية جَ=°60.82.
مثال 8: مثلث متساوي الساقين، طول أحد ساقيه هو 5 سم، وطول نصف القاعدة 4 سم، ما هو محيطه؟
الحل: محيط المثلث= 18 سم.
