دائرة المعادلات: شرح شامل

محتويات

• تعريف الدائرة وخصائصها
• معادلة الدائرة: الصيغة القياسية
• معادلة الدائرة: الصيغة العامة
• أمثلة عملية على معادلات الدوائر

ما هي الدائرة؟

تُعرّف الدائرة (Circle) بأنها مجموعة من النقاط المتساوية البعد عن نقطة ثابتة تسمى المركز. والمسافة بين أي نقطة على محيط الدائرة ومركزها تسمى نصف القطر.^[1]

تُعبّر معادلة الدائرة عن العلاقة الرياضية بين إحداثيات أي نقطة على محيطها. وباستخدام نظرية فيثاغورس، يمكننا اشتقاق هذه المعادلة.^[2]

معادلة الدائرة: الصيغة القياسية

معادلة الدائرة التي مركزها عند نقطة الأصل (0،0) ونصف قطرها (ر) لأي نقطة (س، ص) على محيطها هي:

س² + ص² = ر²

أما إذا كان مركز الدائرة عند نقطة (ف، ق) ونصف قطرها (ر)، فإنّ معادلتها تُكتب بالصورة القياسية كما يلي:^[3]

(س – ف)² + (ص – ق)² = ر²

حيث:

• (س، ص): إحداثيات أي نقطة على الدائرة.
• (ف، ق): إحداثيات مركز الدائرة.
• ر: نصف قطر الدائرة.

معادلة الدائرة: الصيغة العامة

يمكن التعبير عن معادلة الدائرة بصيغة عامة من خلال تطوير الصيغة القياسية، وهي على النحو التالي:^[4]

س² + ص² + 2أ س + 2ب ص + ج = 0

حيث:

• (أ، ب، ج): أعداد ثابتة.
• (س، ص): إحداثيات أي نقطة على الدائرة.

باستخدام هذه الصيغة، يمكننا إيجاد إحداثيات مركز الدائرة ونصف قطرها بسهولة:

• إحداثيات المركز: (-أ، -ب)
• نصف القطر: √(أ² + ب² – ج)

أمثلة توضيحية

مثال 1: إيجاد معادلة الدائرة

ما هي معادلة الدائرة التي نصف قطرها 15 وإحداثيات مركزها (-1، -6)؟

الحل: نعوض في الصيغة القياسية:

(س + 1)² + (ص + 6)² = 15² = 225

مثال 2: إيجاد مركز ونصف قطر الدائرة

أوجد نصف قطر وإحداثيات مركز الدائرة التي معادلتها س² + ص² + 8س + 6ص + 9 = 0

الحل: نقارن المعادلة بالصيغة العامة:

2أ = 8 => أ = 4

2ب = 6 => ب = 3

ج = 9

إحداثيات المركز = (-أ، -ب) = (-4، -3)

نصف القطر = √(أ² + ب² – ج) = √(16 + 9 – 9) = √16 = 4

^[1]“Equation of Circle”, CUEMATH, Retrieved 1/1/2022. Edited.

^[2]“Equation Of A Circle”, BYJU’S, Retrieved 1/1/2022. Edited.

^[3]“Circle Equations”, MATH is FUN, Retrieved 1/1/2022. Edited.

^[4]“General Form of the Equation of a Circle”, Math-Only-Math, Retrieved 1/1/2022. Edited.