خصائص الدوال من الدرجة الأولى

سمات أساسية للدوال الخطية

تتميز الدوال الخطية بمجموعة من الخصائص التي تميزها عن غيرها من الدوال الرياضية. بشكل عام، تعتمد هذه الدوال على متغيرين فقط، وتكون جميع قوى المتغيرات من الدرجة الأولى. ينتج عن تمثيلها البياني خط مستقيم واضح ومميز.

التمثيل المرئي كخط مستقيم

عند تمثيل الدالة الخطية بيانيا، فإن جميع النقاط التي تحقق معادلة الدالة تشكل خطا مستقيما. يمكن اعتبار الدالة الخطية في متغيرين كعلاقة بين متغيرين، حيث تعتمد قيمة أحد المتغيرين على قيمة الآخر. يُعرف المتغير الأول بالمتغير المستقل، ويتم تمثيله على المحور الأفقي (س)، بينما يُعرف المتغير الثاني بالمتغير التابع، ويتم تمثيله على المحور الرأسي (ص). لكل قيمة لـ “س” توجد قيمة واحدة مقابلة لـ “ص”.

مفهوم ميل الدالة

ميل الدالة الخطية هو معدل التغير في قيمة الدالة بالنسبة لتغير قيمة المتغير المستقل. يتم تمثيل الميل عادة بالحرف “م”. وهو يمثل نسبة التغير الرأسي بين نقطتين على الخط المستقيم إلى التغير الأفقي بين نفس النقطتين. إذا كانت (س1، ص1) تمثل النقطة الأولى و (س2، ص2) تمثل النقطة الثانية، فإن الميل يحسب كالتالي:

م = (ص2 – ص1) / (س2 – س1)

من الضروري جداً الحفاظ على نفس الترتيب للإحداثيات في كل من البسط والمقام عند حساب الميل، وإلا ستكون النتيجة غير صحيحة.

سلوك الرتابة: التزايد، التناقص، والثبات

تتصف الدالة الخطية بسلوك رتيب، حيث يمكن أن تكون متزايدة أو متناقصة أو ثابتة. يحدد ميل الدالة هذا السلوك. فإذا كان الميل موجبا (م > 0)، تكون الدالة متزايدة، ويصعد الخط المستقيم الناتج من اليسار إلى اليمين. أما إذا كان الميل سالبا (م < 0)، فتكون الدالة متناقصة، وينحدر الخط المستقيم من اليسار إلى اليمين. في حالة كون الميل صفرا (م = 0)، تكون الدالة ثابتة، ويكون الخط المستقيم أفقيا.

نطاق التعريف ومجموعة القيم

عادة ما يكون مجال الدالة الخطية هو مجموعة الأعداد الحقيقية بأكملها (ح) بالنسبة للمتغير “س”. كما أن مدى الدالة الخطية هو أيضا المجموعة الكاملة للأعداد الحقيقية (ح) بالنسبة للمتغير “ص”، ما لم يتم تحديد استثناءات معينة. إذا كان الميل صفرا، فإن الدالة الخطية تصبح خطا أفقيا (ص = ب)، وفي هذه الحالة يكون المجال هو مجموعة الأعداد الحقيقية، بينما المدى هو المجموعة {ب} فقط.

الصيغة العامة للمعادلة

تعرف الدوال الخطية بأنها معادلات جبرية تمثل بخطوط مستقيمة. يمكن التعبير عن الصيغة العامة للدالة الخطية على النحو التالي:

ق(س) = م × س + ب

حيث:

• ق(س): المتغير التابع.
• م: الميل أو المنحدر.
• س: المتغير المستقل وله أس من الدرجة الأولى.
• ب: الجزء المتقاطع مع محور الصادات.

طرق مختلفة لتصوير الدالة

هناك عدة طرق لتمثيل الدالة الخطية، بما في ذلك:

• الصيغة الجبرية: وذلك بالتعويض بقيم “م” و”ب” في المعادلة (ص = م × س + ب).
• طريقة الرسم البياني: يتم إيجاد نقطتين (س، ص) تحققان معادلة الدالة الخطية، ثم يتم تعيين هاتين النقطتين على الرسم البياني وتوصيلهما بخط مستقيم.
• الجدول: يتم التحقق من الدالة الخطية بفحص قيمتي “س” و”ص”، والتأكد من أن معدل تغير “ص” إلى معدل تغير “س” ثابت في الجدول.

الاستخدامات العملية في حياتنا

تستخدم الدوال الخطية في حل العديد من المشكلات التي نواجهها في حياتنا اليومية. على سبيل المثال، إذا كنت تستقل سيارة أجرة، وتعلم أن الشركة تتقاضى رسوما ثابتة قدرها 9 دولارات بالإضافة إلى 15 دولارا لكل ميل، يمكنك استخدام دالة خطية لحساب تكلفة الرحلة. إذا رمزنا لعدد الأميال بالرمز “س” وتكلفة الرحلة بالرمز “ص”، فإن المعادلة الخطية ستكون:

ص = 15 × س + 9