خصائص الأسس في الرياضيات

مفهوم عام حول الأسس في علم الرياضيات

يمكن تعريف عملية رفع الأعداد إلى قوى أو أسس (بالإنجليزية: Exponents) على أنها عملية تكرار لضرب العدد المرفوع إلى قوة معينة في نفسه. هذا العدد يسمى الأساس، ويتم تكرار الضرب لعدد من المرات يساوي قيمة الأس. على سبيل المثال، إذا كان لدينا العدد “أ” مرفوعًا للقوة “ن”، فإن ذلك يعني:

أ^ن = أ × أ × أ × أ × … (مع تكرار العدد أ بعدد ن من المرات).

مثال توضيحي: 5³ = 5 × 5 × 5، و 4³ = 4 × 4 × 4. ونقرأها “العدد أ مرفوعًا للقوة ن”.

في سياق متصل، لفهم كيفية حل المعادلات الأسية، يمكن الرجوع إلى مصادر متخصصة تشرح طرق حل تلك المعادلات بشكل مفصل.

القواعد الهامة للأسس في الرياضيات

في علم الرياضيات، هناك مجموعة من الخصائص والقواعد التي تحكم التعامل مع الأسس. هذه القواعد تسهل تبسيط العمليات الحسابية وتساعد في حل المعادلات التي تتضمن قوى وأسس. فيما يلي أبرز هذه الخصائص:

خاصية ضرب القوى

تنص هذه الخاصية على أنه عند ضرب قوتين لهما نفس الأساس، يتم جمع الأسس. بمعنى آخر:

أ^ن × أ^م = أ^ن+م

على سبيل المثال: 5⁶ × 5⁵ = 5¹¹

خاصية قسمة القوى

تنص هذه القاعدة على أنه عند قسمة قوتين لهما نفس الأساس، يتم طرح الأسس. أي أن:

أ^ن / أ^م = أ^ن-م

على سبيل المثال: 3⁸ / 3² = 3⁶

خاصية رفع قوة إلى قوة أخرى

إذا كان لدينا عدد مرفوعًا لقوة معينة داخل قوس، ثم تم رفع القوس بأكمله إلى قوة أخرى، فإن الناتج يكون برفع العدد إلى قوة تساوي حاصل ضرب القوتين. أي أن:

(أ^ن)^م = أ^ن×م

على سبيل المثال: (8²)² = 8^2×2 = 8⁴

رفع حاصل الضرب إلى قوة

تنص هذه الخاصية على أن ناتج رفع حاصل ضرب عدة أعداد إلى قوة معينة يساوي حاصل ضرب كل عدد من هذه الأعداد مرفوعًا إلى نفس القوة. أي أن:

(س × ص)^ن = س^ن × ص^ن

على سبيل المثال: (3 × 5)⁶ = 3⁶ × 5⁶

رفع حاصل القسمة إلى قوة

تنص هذه الخاصية على أنه يمكن توزيع القوة المرفوعة على ناتج القسمة على كل من البسط والمقام. أي أن:

(س / ص)^ن = س^ن / ص^ن

على سبيل المثال: (3 / 5)⁶ = 3⁶ / 5⁶

خاصية الأس الصفري

تنص هذه الخاصية على أن أي عدد (باستثناء الصفر) مرفوعًا للقوة صفر يساوي دائمًا 1. أي أن:

س⁰ = 1 (عندما تكون س ≠ 0)

على سبيل المثال: 5⁰ = 1، وكذلك 7⁰ = 1.

خاصية الأسس السالبة

تنص هذه الخاصية على أن الأس السالب يساوي مقلوب الأس الموجب. أي أن:

س^-أ = 1 / س^أ، و س^أ = 1 / س^-أ (عندما تكون س ≠ 0)

على سبيل المثال: 1/5³ = 5^-3.

خاصية الجذر

تنص هذه الخاصية على ما يلي:

^م√أ^ن = أ^ن/م.

خاصية الصفر

تنص هذه الخاصية على أن رفع الصفر لأي قوة موجبة يساوي دائمًا صفر. أي أن:

0^ن = 0 (لأي عدد ن > 0).

خاصية العدد واحد

تنص هذه الخاصية على ما يلي:

1^ن = 1 (مهما كانت قيمة ن)، وكذلك أ¹ = أ (مهما كانت قيمة أ).

خاصية السالب واحد

تنص هذه الخاصية على ما يلي:

(-1)^ن = 1 (إذا كانت قيمة ن زوجية)، و (-1)^ن = -1 (إذا كانت قيمة ن فردية).

أمثلة تطبيقية متنوعة حول قوانين الأسس

المثال الأول:

بسّط العبارة التالية: (7⁵)¹⁰ × 7²⁰⁰ / (7^-2)³⁰.

الحل:

نبسط كل جزء من العبارة على حدة:

(7⁵)¹⁰ = 7⁵⁰

(7^-2)³⁰ = 7^-60

الآن نعوض بالقيم المبسطة في العبارة الأصلية: 7⁵⁰ × 7²⁰⁰ / 7^-60 = 7⁵⁰ × 7²⁰⁰ × 7⁶⁰ = 7³¹⁰

المثال الثاني:

اذكر الخاصية التي تعبر عنها كل من المعادلات التالية:

1. 3² × 4² = (3 × 4)²
2. 2⁵ / 2³ = 2^5-3 = 2² = 4
3. √2⁶ = 2^6/2 = 2³
4. 2³ = 1 / 2^-3

الحل:

1. 3² × 4² = (3 × 4)²: خاصية رفع حاصل الضرب إلى قوة.
2. 2⁵ / 2³ = 2^5-3 = 2² = 4: خاصية قسمة القوى.
3. √2⁶ = 2^6/2 = 2³: خاصية الجذر.
4. 2³ = 1 / 2^-3: خاصية الأسس السالبة.

المثال الثالث:

بسّط التعبير الآتي: س⁰×(س²)³÷(س²×س^½).

الحل:

نبسط كل مقدار من المقادير على حدة كما يلي:

س⁰=1.

(س²)³= س⁶.

(س²×س^½) = س^5/2.

تعويض القيم السابقة في المسألة الأصلية لينتج أن: 1×س⁶÷س^5/2= س^6-5/2= س^3.5.

المثال الرابع:

جد قيمة ن عندما تكون 9^2ن-1= 27^ن+2.

الحل:

إعادة كتابة المسألة على شكل: (3²)^2ن-1= (3³)^ن+2= 3^4ن-2= 3^3ن+6، وعندما تتساوي الأساسات فإن الأسس تتساوى، وعليه:

4ن-2 = 3ن+6، وبحل المعادلة الخطية ينتج أن: ن = 8.

المثال الخامس:

بسّط التعبير الآتي: (س³÷س^½)×(س^3/2÷س⁰)×س⁷.

الحل:

نبسط كل مقدار من المقادير على حدة كما يلي:

س⁰=1.

(س³÷س^½) = س^2.5.

إعادة كتابة المسألة على شكل: س^2.5×س^3/2×س⁷= س¹¹.

المثال السادس:

جد قيمة كل مما يلي:

1. (-3)⁴
2. (3²)³
3. 2¹⁰/2⁸
4. (4^-100×2⁵)¹⁰⁰÷2⁵
5. 6×5⁹÷2×5⁷

الحل:

1. (-3)⁴= 81
2. (3²)³= 3⁶= 729
3. 2¹⁰/2⁸= 2^10-8= 2²= 4
4. (4^-100×2⁵)¹⁰⁰÷2⁵= (100^-100)¹⁰⁰÷2⁵= 0
5. 6×5⁹÷2×5⁷= 5^9-7×6/2 = 5²× 3 = 75

المثال السابع:

إذا كانت قيمة 3^س= 27، جد قيمة 2^2س.

الحل:

حساب قيمة س عن طريق معرفة أن: 3×3×3 = 27، وعليه: 3³= 27، وس = 3.

حساب قيمة 2^2س= 2^2×3= 2⁶= 64.

المثال الثامن:

إذا كانت أ²= 35، ب²= 52، جد قيمة أ⁴+ب⁶.

الحل:

بما أن: أ²= 35، فإن أ⁴= (أ²)²=35×35 = 1225

بما أن: ب²= 52، فإن ب⁶= (ب²)³=52×52×52 = 140,608‬.

قيمة أ⁴+ب⁶= 1225+140608 = 141,833.

المراجع

1. Exponent rules
2. Exponent properties review
3. Properties of exponents
4. Laws of Exponents
5. Use Multiplication Properties of Exponents
6. Properties of Exponents
7. Exponents