حساب مساحة الأشكال البيضاوية

فهرس المحتويات

قياس مساحة الأشكال البيضاوية المنتظمة

يُعرف الشكل البيضاوي المنتظم رياضياً باسم القطع الناقص. حساب مساحته يعتمد بشكل أساسي على أطوال أنصاف محاوره. يمر المحوران عبر مركز الشكل البيضاوي، أحدهما هو المحور الرئيسي (الأطول) والآخر هو المحور الثانوي (الأقصر)، وهما متعامدان دائماً. تُستخدم الصيغة التالية لحساب المساحة:

مساحة الشكل البيضاوي = π × نصف طول المحور الرئيسي × نصف طول المحور الثانوي

أو رمزياً:

A = π × a × b

حيث:

• A: تمثل مساحة الشكل البيضاوي.
• π: ثابت باي (تقريباً 3.14 أو 22/7).
• a: نصف طول المحور الرئيسي.
• b: نصف طول المحور الثانوي.

قياس مساحة الأشكال البيضاوية غير المنتظمة

تُستخدم عدة أساليب لحساب مساحة الأشكال البيضاوية التي تفتقر للانتظام الهندسي الدقيق. من هذه الطرق:

• تقسيم الشكل إلى مربعات متساوية: تقسيم الشكل إلى شبكة من المربعات الصغيرة، ثمّ عدّ المربعات التي تقع داخل الشكل البيضاوي. إجمالي مساحة هذه المربعات يُقارب مساحة الشكل البيضاوي. كلما صغرت مساحة المربع، زادت دقة النتيجة.
• تقسيم الشكل إلى أشكال هندسية منتظمة: تقسيم الشكل إلى أشكال هندسية بسيطة مثل مثلثات أو مربعات أو أجزاء من دوائر. ثم حساب مساحة كل شكل على حدة باستخدام القوانين الرياضية المعروفة، وجمعها للحصول على مساحة الشكل البيضاوي الكلية.

أمثلة عملية لحساب المساحة

مثال 1: احسب مساحة شكل بيضاوي حيث نصف طول المحور الرئيسي 8 سم، ونصف طول المحور الثانوي 4 سم.

الحل: A = 3.14 × 8 سم × 4 سم = 100.48 سم²

مثال 2: شكل بيضاوي قطره الأكبر 18 سم، وقطره الأصغر 10 سم. احسب مساحته.

الحل: a = 18 سم / 2 = 9 سم، b = 10 سم / 2 = 5 سم. A = 3.14 × 9 سم × 5 سم = 141.3 سم²

مثال 3: قطعة أرض بيضاوية الشكل، طول نصف قطرها الأكبر 44 م، ونصف قطرها الأصغر 25 م. احسب مساحة قطعة الأرض.

الحل: A = 3.14 × 44 م × 25 م = 3454 م²

مثال 4: مساحة شكل بيضاوي 124 سم²، وطول محوره الرئيسي 16 سم. احسب طول محوره الثانوي.

الحل: نصف طول المحور الرئيسي = 16 سم / 2 = 8 سم. 124 سم² = 3.14 × 8 سم × ب. ب = 4.9 سم تقريباً. طول المحور الثانوي = 4.9 سم × 2 = 9.8 سم تقريباً.

مثال 5: مساحة شكل بيضاوي 50 سم²، ونصف طول محوره الثانوي 2.65 سم. احسب نصف طول محوره الرئيسي.

الحل: 50 سم² = 3.14 × أ × 2.65 سم. أ = 6 سم تقريباً.

العلاقة بين مساحة الدائرة والقطع الناقص

تُعتبر الدائرة حالة خاصة من القطع الناقص حيث يكون طول المحور الرئيسي مساوياً لطول المحور الثانوي. ينتج الشكل البيضاوي عن قطع مخروط بمستوى غير موازٍ لقاعدته، بينما تتشكل الدائرة عند قطع المخروط بمستوى موازٍ لقاعدته. يمكن اشتقاق قانون مساحة الدائرة من قانون مساحة القطع الناقص بتساوي طولي المحورين:

مساحة الدائرة = π × (نصف القطر)²