جدول المحتويات
معادلة حساب حجم المخروط المقطوع
يمكن حساب حجم المخروط المقطوع، بغض النظر عن أبعاده، باستخدام ارتفاع المخروط (ع) ومساحة قاعدتيه. وتُعطى المعادلة الرياضية على النحو التالي:[1]
حجم المخروط المقطوع = (ارتفاع المخروط المقطوع / 3) × (مساحة القاعدة السفلى + مساحة القاعدة العليا + الجذر التربيعي لضرب مساحة القاعدة السفلى في مساحة القاعدة العليا)
لكن في أغلب الحالات، لا تكون مساحة القاعدتين معروفة، بل نصف قطرهما. لذا، نحتاج إلى اشتقاق قانون الحجم بدلالة نصف القطر. وذلك كالتالي: [1]
بما أن قاعدتي المخروط دائريتان، فإن مساحة كل قاعدة تساوي:
مساحة الدائرة = π × (مربع نصف القطر)
وبالتالي، مساحة القاعدة السفلى = π × (مربع نصف قطر القاعدة السفلى) و مساحة القاعدة العليا = π × (مربع نصف قطر القاعدة العليا).
بالتعويض في معادلة الحجم، نحصل على:
حجم المخروط المقطوع = (ارتفاع المخروط المقطوع / 3) × (π × (مربع نصف قطر القاعدة العليا) + π × (مربع نصف قطر القاعدة السفلى) + الجذر التربيعي لـ (π × (مربع نصف قطر القاعدة العليا) × π × (مربع نصف قطر القاعدة السفلى)))
تطبيق عملي لحساب حجم المخروط المقطوع
قد يبدو القانون السابق معقدًا، لكن التطبيق العملي بسيط للغاية. لنأخذ هذا المثال:
مثال: مخروط مقطوع ارتفاعه 45 سم، ونصف قطر قاعدته السفلى 28 سم، ونصف قطر قاعدته العليا 7 سم. ما هو حجمه؟ [2]
الحل:
- مساحة القاعدة السفلى = π × 28² = 2461.7 سم²
- مساحة القاعدة العليا = π × 7² = 153.8 سم²
- حجم المخروط المقطوع = (45/3) × (2461.7 + 153.8 + √(2461.7 × 153.8)) = 48510 سم³
ما هو المخروط المقطوع؟
المخروط المقطوع (Truncated Cone باللغة الإنجليزية) هو شكل هندسي ينتج عن قطع الجزء العلوي من مخروط كامل بشكل موازٍ لقاعدته الدائرية. يُزيل هذا القطع رأس المخروط الأصلي، تاركًا شكلاً جديدًا يُعرّف بأبعاده: الارتفاع، ونصف قطر القاعدتين، والارتفاع الجانبي. [4]
المصادر
[1] “حجم المخروط المقطوع”, www.cuemath.com, تم الوصول إليه في 28-1-2021. تم التعديل.
[2] “حجم المخروط المقطوع”, www.brainkart.com, تم الوصول إليه في 28-12-2021. تم التعديل.
[3] “ما هو π وكيف نشأ؟”, www.scientificamerican.com, تم الوصول إليه في 28-12-2021. تم التعديل.
[4] “المخروط المقطوع”, superprof, تم الوصول إليه في 24/3/2022. تم التعديل.
