حساب حجم المخروط الدوراني باستخدام التكامل

جدول المحتويات

استخدام التكامل في تحديد حجم المخروط الدوراني

يُعدّ المخروط الدوراني شكلاً هندسيًا ثلاثي الأبعاد يتميز بقاعدة دائرية وسطح منحني ينتهي بنقطة تُعرف بالقمة. تُستخدم العديد من الأمثلة على المخروط الدوراني في الحياة اليومية، مثل أقماع المرور، وقمع المثلجات، وغيرها. يُعتبر حساب حجم الأشكال الهندسية ثلاثية الأبعاد، بما في ذلك المخروط، مهمًا في العديد من التطبيقات، والتكامل يوفر أداة قوية لحساب حجم الأشكال المعقدة.

يُمكن استخدام التكامل لحساب حجم المخروط من خلال تقسيمه إلى عدد لا نهائي من الشرائح الصغيرة جدًا، ثم جمع أحجام هذه الشرائح للحصول على الحجم الكلي. هذه العملية فعّالة بشكل خاص في حساب حجم الأشكال التي يصعب تحديد أبعادها مباشرة.

حساب الحجم بطريقة الأقراص والفلكة

يمكن توليد مخروط دوراني من خلال دوران مثلث قائم حول أحد أضلاع الزاوية القائمة. يمكن تمثيل هذا المثلث في نظام إحداثيات ديكارتي، حيث يمثل أحد أضلاع الزاوية القائمة ارتفاع المخروط (ع) على محور السينات، والضلع الآخر يمثل نصف قطر المخروط (نق) موازياً لمحور الصادات، مع وضع رأس المثلث (وهو رأس المخروط) عند نقطة الأصل.

باستخدام هذه الخاصية، يمكن استخدام التكامل لحساب حجم المخروط. معادلة المستقيم المار بنقطة الأصل (الوتر في المثلث) هي: ص = (نق/ع) × س. مساحة المقطع العرضي للمخروط هي م(س) = πص² = π(نق²/ع²) × س². ثم نكامل هذه المساحة من س=0 إلى س=ع:

الحجم = ∫₀^ع π(نق²/ع²) × س² دس

وبعد إجراء التكامل، نحصل على:

الحجم = (1/3)πنق²ع

الخصائص الرئيسية للمخروط الدوراني

يتميز المخروط الدوراني بالخصائص التالية:

• له قاعدة دائرية واحدة، ونصف قطرها يُرمز له بـ نق.
• لا يملك حواف.
• يملك رأسًا واحدًا، والخط الواصل بين رأس المخروط ومركز القاعدة يُسمى محور المخروط ويمثل ارتفاعه (ع).
• يُمثل طول الخط الواصل بين رأس المخروط وأي نقطة على محيط القاعدة ما يُعرف براسم المخروط (ل).

تصنيفات المخروط الدوراني

يصنف المخروط الدوراني إلى نوعين بناءً على موقع رأس المخروط بالنسبة لمركز القاعدة:

• المخروط القائم: يكون رأس المخروط فوق مركز القاعدة مباشرة، أي أن محور المخروط يكون عمودياً على مستوى القاعدة.
• المخروط المائل: يكون رأس المخروط بعيدًا عن مركز القاعدة الدائرية.