حساب المساحات باستخدام التكامل المحدد

مقدمة إلى التكامل المحدد

في عالم الرياضيات، يُعد التكامل أداة قوية لحساب المساحات والكميات المتراكمة. ينقسم التكامل إلى نوعين رئيسيين: التكامل المحدد والتكامل غير المحدد. التكامل المحدد يمثل المساحة المحصورة تحت منحنى دالة معينة، بين نقطتين محددتين على محور السينات. هذه المساحة تُعطى قيمة عددية ثابتة، تميزه عن التكامل غير المحدد الذي ينتج دالة جديدة.

يستخدم التكامل المحدد على نطاق واسع في مجالات متنوعة، من حساب مساحات الأشكال الهندسية مثل الدوائر والقطع المكافئ، إلى التطبيقات الفيزيائية المعقدة مثل تحديد كتلة جسم ذي كثافة متغيرة.

الصيغة الرياضية للتكامل المحدد

يعتمد التكامل المحدد على مفهوم المساحة تحت المنحنى، ويمكن التعبير عنه رياضياً بالصيغة التالية:

∫_a^b f(x) dx = F(b) – F(a)

حيث أن:

• ∫ يمثل علامة التكامل.
• a هو الحد الأدنى للتكامل.
• b هو الحد الأعلى للتكامل.
• f(x) هي الدالة المراد إيجاد تكاملها.
• dx يمثل عنصر التكامل بالنسبة للمتغير x.
• F(x) هي الدالة الأصلية لـ f(x).

هذه الصيغة تعني أن قيمة التكامل المحدد للدالة f(x) من النقطة a إلى النقطة b تساوي الفرق بين قيمة الدالة الأصلية F(x) عند النقطة b وقيمتها عند النقطة a.

السمات المميزة للتكامل المحدد

يتميز التكامل المحدد بعدة خصائص مهمة تسهل عملية حسابه وتطبيقه، ومن أبرز هذه الخصائص:

• خاصية عكس الحدود: تغيير حدود التكامل يؤدي إلى تغيير إشارة الناتج:
  ∫_a^b f(x) dx = – ∫_b^a f(x) dx
• خاصية التجزئة: يمكن تقسيم فترة التكامل إلى فترات فرعية:
  ∫_a^b f(x) dx = ∫_a^c f(x) dx + ∫_c^b f(x) dx
• خاصية تساوي الحدود: إذا كانت حدود التكامل متساوية، فإن الناتج يساوي صفر:
  ∫_a^a f(x) dx = 0
• الاتصال والقابلية للتكامل: إذا كانت الدالة f(x) متصلة على الفترة [a, b]، فإنها قابلة للتكامل على نفس الفترة.
• خاصية التبديل: يمكن استخدام متغيرات مختلفة للتعبير عن نفس التكامل:
  ∫_a^b f(x) dx = ∫_a^b f(t) dt
• خاصية جمع التكاملات: يمكن جمع تكاملين محددين على نفس الفترة.

استراتيجيات حل مسائل التكامل المحدد

هناك عدة طرق لحساب التكامل المحدد، تعتمد على طبيعة الدالة المراد تكاملها. من بين هذه الطرق:

• الطريقة المباشرة (عكس الاشتقاق): وهي إيجاد الدالة الأصلية للدالة المراد تكاملها، ثم تطبيق حدود التكامل.
• التكامل بالتجزئة: تستخدم هذه الطريقة عندما تكون الدالة المراد تكاملها عبارة عن حاصل ضرب دالتين:
  صيغة التكامل بالتجزئة: ∫ u dv = uv – ∫ v du
• التكامل بالتعويض: تستخدم هذه الطريقة لتحويل الدالة المراد تكاملها إلى صورة أسهل:
  عن طريق استبدال جزء من الدالة بمتغير جديد.
• التكامل باستخدام الكسور الجزئية: تستخدم هذه الطريقة عندما تكون الدالة المراد تكاملها عبارة عن كسر جبري:
  عن طريق تحليل الكسر إلى كسور أبسط يسهل تكاملها.

التكامل بالأجزاء

تعتبر طريقة التكامل بالأجزاء أداة قيمة لإيجاد تكامل حاصل ضرب دالتين، حيث يصعب تطبيق التكامل المباشر. تعتمد هذه الطريقة على الصيغة التالية:

∫ u dv = uv – ∫ v du

حيث يتم اختيار دالة لتكون u، ودالة أخرى لتكون dv، ثم يتم حساب du و v، وتطبيق الصيغة لحساب التكامل.

التكامل بالتعويض

تستخدم طريقة التكامل بالتعويض لتبسيط شكل الدالة المراد تكاملها، وذلك بتحويلها إلى صورة مألوفة يسهل إيجاد تكاملها. يتم ذلك عن طريق استبدال جزء من الدالة بمتغير جديد، وإجراء التكامل بالنسبة لهذا المتغير، ثم إعادة المتغير الأصلي.

التكامل باستخدام الكسور الجزئية

تستخدم طريقة التكامل باستخدام الكسور الجزئية عندما تكون الدالة المراد تكاملها عبارة عن كسر جبري (حاصل قسمة كثيرتي حدود)، حيث تكون درجة البسط أقل من درجة المقام. يتم في هذه الطريقة تحليل المقام إلى عوامل، ثم كتابة الكسر الأصلي كمجموع كسور جزئية، حيث يكون مقام كل كسر جزئي هو أحد عوامل المقام الأصلي. بعد ذلك، يتم إيجاد قيم البسط في الكسور الجزئية، ثم تكامل كل كسر جزئي على حدة.

المصادر

• “Properties Of Definite Integral”,byjus.
• “Definite Integral”,Cuemath.
• “Applications of Integration”,libretexts.
• “Definite integral”,Mathworld.
• إميل شكر الله،طرق التكامل، صفحة 44-57. بتصرّف.