حساب ارتفاع المثلث القائم: طرق وأمثلة

جدول المحتويات

• مقدمة عن ارتفاع المثلث القائم
• حساب الارتفاع باستخدام المساحة
• حساب الارتفاع باستخدام نظرية فيثاغورس
• حساب الارتفاع باستخدام النسب المثلثية
• أمثلة تطبيقية متنوعة
• خاتمة

مقدمة عن ارتفاع المثلث القائم

يُعرف ارتفاع المثلث بأنه طول العمود النازل من إحدى زواياه إلى الضلع المقابل لها. في المثلث القائم الزاوية، يُعتبر أحد الضلعين اللذين يحصران الزاوية القائمة هو الارتفاع، بينما الضلع الآخر هو القاعدة. في بعض الحالات، يمكن اعتبار الوتر هو القاعدة، ويتم حساب الارتفاع كالعمود الواصل بين الزاوية القائمة والوتر.

حساب الارتفاع باستخدام المساحة

إذا كانت مساحة المثلث القائم معروفة بالإضافة إلى طول القاعدة، يمكن حساب الارتفاع باستخدام القانون التالي:

ارتفاع المثلث = (2 × مساحة المثلث) / طول القاعدة

على سبيل المثال، إذا كانت مساحة المثلث 45 مترًا مربعًا وطول القاعدة 10 أمتار، فإن الارتفاع يكون:

ارتفاع المثلث = (2 × 45) / 10 = 9 أمتار

حساب الارتفاع باستخدام نظرية فيثاغورس

يمكن استخدام نظرية فيثاغورس لحساب ارتفاع المثلث القائم إذا كان طول الوتر والقاعدة معروفين. تنص النظرية على أن:

مربع الوتر = مربع الضلع الأول (القاعدة) + مربع الضلع الثاني (الارتفاع)

مثال: إذا كان طول القاعدة 12 سم والوتر 24 سم، فإن الارتفاع يكون:

24² = 12² + الارتفاع² → 576 = 144 + الارتفاع² → الارتفاع² = 432 → الارتفاع = 20.78 سم

حساب الارتفاع باستخدام النسب المثلثية

يمكن حساب ارتفاع المثلث القائم باستخدام النسب المثلثية إذا كانت قياسات الزوايا وطول القاعدة أو الوتر معروفة. النسب المثلثية تشمل الجيب، جيب التمام، والظل:

• جيب الزاوية (جا) = الضلع المقابل للزاوية / الوتر
• جيب تمام الزاوية (جتا) = الضلع المجاور للزاوية / الوتر
• ظل الزاوية (ظا) = الضلع المقابل للزاوية / الضلع المجاور للزاوية

مثال: إذا كانت الزاوية 57 درجة والمسافة من القاعدة 30 دسم، فإن ارتفاع الشجرة يكون:

ظا (57) = الارتفاع / 30 → الارتفاع = 46.20 دسم

أمثلة تطبيقية متنوعة

مثال 1: حساب الارتفاع باستخدام المساحة

إذا كانت مساحة المثلث 24 سم² وطول القاعدة 8 سم، فإن الارتفاع يكون:

ارتفاع المثلث = (2 × 24) / 8 = 6 سم

مثال 2: حساب الارتفاع باستخدام النسب المثلثية

إذا كان طول السلم 6 م والزاوية 60 درجة، فإن ارتفاع النافذة يكون:

جا (60) = الارتفاع / 6 → الارتفاع = 5.2 م

مثال 3: حساب الارتفاع باستخدام نظرية فيثاغورس

إذا كان طول الوتر 5 سم وطول إحدى الساقين 3 سم، فإن الارتفاع يكون:

5² = 3² + الضلع الثاني² → الضلع الثاني = 4 سم

ارتفاع المثلث = (3 × 4) / 5 = 3.75 سم

خاتمة

يُعتبر حساب ارتفاع المثلث القائم عملية بسيطة إذا كانت المعطيات الأساسية معروفة. يمكن استخدام المساحة، نظرية فيثاغورس، أو النسب المثلثية لحساب الارتفاع بناءً على المعلومات المتاحة. من المهم فهم هذه الطرق لتطبيقها في مختلف المسائل الهندسية.