جدول المحتويات
تعريف تشابه المثلثات
تشابه المثلثات (بالإنجليزية: Triangle similarity) هو علاقة تربط بين مثلثين، حيث تتميز بأن الزوايا المتقابلة في المثلثين المتشابهين متساوية، والأضلاع متناسبة.
يختلف تشابه المثلثات عن تطابق المثلثات (بالإنجليزية: Congruence) الذي يتطلب أن تكون أطوال الأضلاع متساوية في كلا المثلثين إضافة إلى تساوي الزوايا. [١]
بعبارة أخرى، يمكن القول بأن المثلثات المتشابهة لها نفس الشكل ولكن أضلاعها تكون بأطوال مختلفة. [٢]
إذا كان المثلث أب ج يشابه المثلث دهـ و مثلاً؛ فإنّ: (أب/دهـ)=(أج/دو)=(ب ج/هـ و)، وهذا ما يسمى تناسب الأضلاع. [٣]
يمكن تلخيص ما سبق بأنّ:
- تطابق المثلثات: يعني أن المثلثين لهما نفس الشكل ونفس الحجم، ويرمز له بالرمز (≅).
- تشابه المثلثات: يعني أن المثلثين لهما نفس الشكل فقط، ويرمز له بالرمز (∽).
حالات تشابه المثلثات
تطابق الزوايا (AA)
يتشابه مثلثان إذا تساوت زاويتان متناظرتان في كليهما. [١]
تناسب جميع الأضلاع (SSS)
يتشابه مثلثان إذا تناسبت أطوال الأضلاع المتناظرة فيهما. [١]
ملاحظة: إذا كانت الأضلاع الثلاثة للمثلثين متساوية فإن المثلثين متطابقان وليسا متشابهين. [٥]
ضلعان وزاوية محصورة بينهما (SAS)
يتشابه مثلثان إذا تساوى قياس زاوية من مثلث مع قياس زاوية من مثلث آخر وتناسبت أطوال الضلعين اللذين يحتويان هذه الزاوية. [١]
مثلاً يتشابه المثلث أب ج مع المثلث دهـ و إذا كانت إحدى الزاويتين المتقابلتين متساويتين مثل: (أ = د)، وكانت أطوال الأضلاع المتقابلة والتي تضم هذه الزوايا متناسبة (أب/دهـ = أج/دو)، فيترتب على ذلك أن جميع الزوايا المتناظرة متطابقة وأن أطوال جميع الجوانب المتبقية متناسبة. [١]
حالات أخرى قد تتشابه فيها المثلثات
قد يتناسب فيها ضلعان من أحد المثلثات مع ضلعين مقابلين لهما من مثلث آخر، كما يتساوى قياس زاوية فيه (غير محصورة بين الضلعين المتناسبين) مع قياس زاوية أخرى في المثلث الآخر. هذه الحالة تُعرف بـ: (ضلع، ضلع، زاوية)، أو (زاوية، ضلع، ضلع)
هذه الحالة لا تُثبت تشابه المثلثين العادية، إلا أنها تُثبت تشابه المثلثين في بعض الحالات الخاصة مثل المثلثات قائمة الزاوية. [٥]
حالات تشابه المثلثات قائمة الزاوية
تتشابه المثلثات قائمة الزاوية في الحالات الآتية:
- التشابه بالزاوية الحادّة: عند تطابق زاوية حادة من مثلث قائم مع زاوية حادّة أخرى من مثلث قائم آخر، فإن المثلثين متشابهان بالاعتماد على حالة التشابه (زاوية، زاوية).
- التشابه بالساقين: إذا كانت أطوال السيقان المتقابلة متناسبة لمثلثين قائمي الزاوية؛ فإن المثلثين متشابهان بالاعتماد على حالة التشابه (ضلع، زاوية، ضلع).
- التشابه بالوتر والساق: إذا كانت النسبة بين أطوال الوترين تساوي النسبة بين أطوال إحدى الساقين في مثلثين قائمي الزاوية، فإن المثلثين متشابهان.
نظريات تشابه المثلثات
من أهم النظريات المتعلّقة بتشابه المثلثات:
- نظرية مستقيم متوازي: إذا وازى مستقيم أحد أضلاع مثلث و قطع ضلعيه الآخرين فإنه يقسم هذين الضلعين إلى أجزاء متناسبة، ويكون المثلث الناتج مشابهاً للمثلث الأصلي. [٧]
- نظرية مساحة المثلثين: إذا تشابه مثلثان فإن النسبة بين مساحتي المثلثين تتناسب مع مربع النسبة بين الضلعين. [٨]
أمثلة حول تشابه المثلثات
تختلف المثلثات المتشابهة بالمساحة، فالفكرة من التشابه هي التشابه في الشكل فقط والتناسُب بين الأضلاع. [٩]
مثال 1: إذا علمت أنّ المثلث (أ ب ج)، يُشابه المثلث (هـ و د) فتحقّق من تطابُق المثلّثين أيضًا إذا كانت أطوال الأضلاع كالآتي:
- أب= 5 سم
- ب ج= 3 سم
- ج أ= 2 سم
- هـ و= 5 سم
- ود= 3 سم
- دهـ= 2 سم
الحل:
- حساب النسبة بين أطوال الأضلاع المتناظرة في المثلّثين:
- 5/5= 1
- 3/3= 1
- 2/2= 1
بما أنّ النسبة بين كل ضلعين متناظرين تكافئ 1، فيمكن القول بأنّالمثلثين متطابقان.
مثال 2: إذا كانت أطوال أضلاع مثلث ما؛ 8 سم، 10 سم، 6 سم، وكانت أطوال أضلاع مثلث آخر؛ 4 سم، 5 سم، 8 سم، فهل يمكن القول بأنّهما متشابهان؟
الحل:
- حساب النسبة بين أطوال الأضلاع في المثلّثين:
- 8/4= 2
- 10/5= 2
- 8/6= 4/3
بما أنّ النسبة بين الأضلاع غير متساوية فالمثلثينغير متشابهين.
مثال 3: إذا كانت زاويتي مثلث بالدرجات (98، 44)، وكان قياس زاويتي مثلث آخر (38،98)، فهل المثلثين متشابهين؟
الحل:
الزاوية 98 هي زاوية متطابقة بين المثلثين، مما يعني إمكانية إثبات تشابهمها من خلال تطابق زاوية أخرى.
- حساب الزاوية الثالثة للمثلث الأول، 180- (98+ 44)= 38، (فمن خصائص المثلثات أن مجموع زواياها 180 درجة).
وبذلك تكون الزاوية 38 زاوية أخرى متطابقة بين المثلثين، وهذا يكفي للقول بأنّهما متشابهان.
مثال 4: إذا كان طول ضلعين في مثلث ما (5 سم، 4 سم) وكان قياس الزاوية المحصورة بينهما 30 درجة، وكان طول الوتر في مثلث قائم الزاوية 10 سم، وطول ضلع آخر 8 سم، وكان قياس زاويته المقابلة للضلع 8 سم هي 60 درجة، فأثبت أنّ المثلثين متشابهان.
الحل:
- بما أنّ قياس إحدى زوايا المثلث القائم 30 درجة، فيمكن حساب زوايا المثلث الأخرى (180-(60+90)= 30 درجة).
- الزاوية 30 هي الزاوية المحصورة بين الضلعين (8 سم، والوتر 10 سم)، ويمكن التحقّق من ذلك بالرسم.
- النسبة بين الأضلاع المتناظرة في المثلثات كما يأتي: 10/5= 2، 8/4= 2، وبذلك يمكن القول بأنّ الضلعين المتناظرين متناسبين.
- يمكن ملاحظة تطابق الزاوية المحصورة بين الضلعين المتناظرين المتناسبين، وقياسها 30 في كلّ منهما.
إذًافالمثلثان متشابهان بتناسب ضلعين وزاوية محصورة بينهما.
مثال 5: إذا كان قياس إحدى زوايا مثلث قائم الزاوية يساوي 40 درجة، ووُجد مثلث قائم آخر فيه زاوية حادة بنفس القياس 40 درجة، فما العلاقة بين المثلّثين؟
الحل:
بما أنّ المثلثين قائمان فيكفي وجود زاوية حادة واحدة متساوية في القياس في كل منهما، وبذلك يكونالمثلثان متشابهين.
مثال 6: إذا كان طول ساقي مثلث قائم الزاوية 12 سم، 5 سم، ووُجد مثلث قائم آخر فيه طول الساقين 6 سم، 8 سم، فهل المثلثين متشابهين؟
الحل:
يكفي تساوي النسبة بين طولي ساقين في المثلثات قائمة الزاوية للقول بأنّهما متشابهان.
- 12/6= 2
- 5/8= 0.625
2 ≠ 0.625 وبذلك فالمثلثان غير متشابهين.
مثال 7: إذا كان قياس زاويتين في مثلث ما (50، 70) درجة، ووُجد مثلث آخر فيه قياس زاويتين (60،70) درجة، فكيف يمكن التحقّق من تشابهمها؟
الحل:
الزاوية 70 متطابقة في المثلثين، ومنه يمكن إثبات التشابه من خلال إيجاد زاوية أخرى متطابقة.
في المثلث الأول، قياس الزاوية الأخيرة= 180- (50+70)= 60 درجة.
وبذلك يكونالمثلثان متشابهين بتساوي قياس زاويتين هما: 70، 60.
مثال 8: إذا كانت طول ضلعين في مثلث ما 15 سم، 21 سم، وكانت الزاوية بينهما 75 درجة، وكانت أطوال أضلاع مثلث آخر 10 سم، 14 سم والزاوية المحصورة بينهما 75 درجة أيضًا، فهل المثلثين متشابهين؟
الحل:
يمكن إثبات تشابه المثلثين بالاعتماد على تناسب ضلعين وتطابق الزاوية المحصورة بينهما.
- 15/10= 3/2
- 21/14= 3/2
بما أنّ النسبة بين ضلعين متناظرين هي 3/2، والزاوية بين الضلعين 75 درجة، إذًافالمثلثين متشابهين.
يُمكن القول بأنّ المثلثين متشابهان إذا تطابقت فيهما زاويتين، أو كانت النسبة بين أطوال أضلاعهما متساوية، أو تناسب فيهما ضلعين وتطابقت الزاوية المحصورة بينهما.
كما يُمكن إثبات تشابه المثلثات القائمة بشروط أقل وذلك بسبب معرفة إحدى الزوايا وهي 90 درجة.
