تدريبات متنوعة في علم المنطق الرياضي

مقدمة

تهدف هذه المجموعة من التدريبات في علم المنطق الرياضي إلى تطوير قدرات التفكير المنطقي لدى المتدربين من خلال التعامل مع مسائل ظاهرها بسيط ولكنها قد تكون معقدة وتحتاج إلى تحليل دقيق. يتطلب حل هذه التدريبات وجود حافز قوي لدى المتدرب للوصول إلى الحل الصحيح بسرعة وسهولة. فيما يلي عرض لأساليب التعامل مع هذه النوعية من المسائل:

1. تحديد ما إذا كانت الجملة المقدمة تقريرية وواضحة (إذا توفرت المعطيات الكافية).
2. صياغة عبارات منطقية سليمة، مع تحديد قيمتها الصوابية (صحيحة أم خاطئة).
3. تحويل الجمل اللغوية إلى رموز رياضية منطقية.

التدريب الأول

لدينا المجموعة التالية من الجمل، والمطلوب هو ترجمتها إلى رموز تتوافق مع مبادئ المنطق الرياضي:

• إذا كانت 3 = x، فإن 2 < x.
• إذا كان 0 = x أو 1 = x، فإن x² = x.
• يوجد عدد طبيعي (نرمز له بالرمز x)، بحيث يكون x² = -22.

الحل:

• الجملة الأولى تتضمن معلومة، وهي جملة خاطئة، ويمكن تمثيلها بالرموز على النحو التالي: (x > 3 → x > 2 ).
• الجملة الثانية تتضمن معلومة، وهي جملة صحيحة، ويمكن تمثيلها بالرموز على النحو التالي: (x=0 ∨ x=1) → (x² = x).
• الجملة الثالثة تتضمن معلومة، وهي جملة خاطئة.

التدريب الثاني

لنفترض أن: أ = “ألدو إيطالي”، ب = “بوب إنجليزي”. بناءً على هذا الافتراض، المطلوب تحديد مدى صحة الجمل التالية:

• ألدو ليس إيطاليًا.
• ألدو إيطالي وبوب إنجليزي.
• إذا كان ألدو إيطاليًا، فإن بوب ليس إنجليزيًا.
• ألدو إيطالي، وإذا لم يكن ألدو إيطاليًا فإن بوب إنجليزي.
• إما ألدو إيطالي وبوب إنجليزي، أو ألدو ليس إيطاليًا وليس بوب إنجليزي.

الحل:

• الجملة الأولى: خاطئة.
• الجملة الثانية: صحيحة.
• الجملة الثالثة: خاطئة.
• الجملة الرابعة: الجزء الأول صحيح، والجزء الثاني خاطئ.
• الجملة الخامسة: الجزء الأول صحيح، والجزء الثاني خاطئ.

التدريب الثالث

شخص يسير في متاهة، ويجد نفسه أمام ثلاثة مسارات محتملة: الأول على اليسار مرصوف بالذهب، والثاني في الأمام مرصوف بالرخام، والثالث على اليمين مرصوف بحجارة صغيرة.

المعطيات: كل طريق يحرسه حارس، وإذا تحدثت مع الحراس، فسيخبرونك بما يلي:

• الحارس على الطريق المرصوف بالذهب: (هذا الطريق يقود مباشرة إلى المركز، وإذا كان طريق الحجارة يؤدي إلى المركز، فإن طريق الرخام سيؤدي أيضًا إلى المركز).
• الحارس على الطريق المرصوف بالرخام: (لا طريق الذهب ولا طريق الحجر يؤديان إلى المركز).
• الحارس على الطريق المرصوف بحجارة صغيرة: (إذا اتبعت طريق الذهب، فستصل بالتأكيد إلى المركز، وإذا اتبعت طريق الرخام، فستضل طريقك ولن تصل إلى المركز).

علمًا بأن جميع الحراس كاذبون. أي طريق يجب أن نختار لضمان الوصول إلى مركز المتاهة؟

الحل:

لحل هذه المعضلة، يجب علينا تحليل أقوال الحراس بعناية، مع الأخذ في الاعتبار أنهم جميعًا كاذبون. وبناءً على ذلك:

• الطريق المرصوف بالذهب يوصل إلى المركز.
• الطريق المرصوف بالرخام يوصل إلى المركز.
• الطريق المرصوف بالحجارة الصغيرة يوصل إلى المركز.

مصدر في المنطق الرياضي

يعتبر كتاب “Mathematical Logic – Exercises and Solutions” من أشهر المراجع الحديثة في مجال المنطق الرياضي. يقدم الكتاب مجموعة واسعة من التمارين والحلول المفصلة، ويغطي مواضيع متنوعة مثل:

• إثبات النظريات الأساسية في المنطق الرياضي.
• المنطق الافتراضي.
• منطق الدرجة الأولى.
• نظرية النموذج.

قام مؤلفا الكتاب، لازلو سيرماز وزالان جينيس، بتجميع مسائل حول المنطق الرياضي الكلاسيكي استنادًا إلى خبرتهما التي تزيد عن 30 عامًا في تدريس هذا المجال. يدعم الكتاب نظريات ألعاب المعلومات الكاملة، ونظريات المجموعات، ونظرية العودية، وأمثلة على البديهية وعدم البديهية.

المراجع

1. Mathematical Logic Exercises and Solutions, Springer Link
2. WUCT121, Discrete Mathematics Logic Tutorial Exercises
3. Chiara Ghidini, Luciano Serafini, MATHEMATICAL LOGIC EXERCISES