فهرس المحتويات
الأعداد المركبة: تعريف ومفهوم
الأعداد المركبة هي نوع من الأعداد يمتد مفهوم الأعداد الحقيقية ليشمل جزءًا إضافيًا يسمى الجزء التخيلي. يتكون العدد المركب من جزأين: جزء حقيقي وجزء تخيلي. يمكن تمثيل العدد المركب بالصيغة (أ + بi)، حيث ‘أ’ يمثل الجزء الحقيقي، و ‘ب’ يمثل الجزء التخيلي، و ‘i’ هو الوحدة التخيلية التي تُعرف بأنها الجذر التربيعي للعدد (-1).
تلعب الأعداد المركبة دوراً هاماً في مجالات متنوعة مثل الهندسة الكهربائية، وميكانيكا الكم، والرياضيات التطبيقية. فهم كيفية إجراء العمليات الحسابية على هذه الأعداد ضروري للتعامل مع هذه المجالات بكفاءة.
حساب حاصل جمع عددين مركبين
لجمع عددين مركبين، نقوم بجمع الأجزاء الحقيقية معًا وجمع الأجزاء التخيلية معًا.
مثال 1:
أوجد ناتج الجمع: ? = (1+8i) + (3+6i)
الحل:
نقوم بجمع الأجزاء الحقيقية (1 و 3) والأجزاء التخيلية (8i و 6i):
(1+8i) + (3+6i) = (1+3) + (8+6)i = 4 + 14i
إذن، ناتج الجمع هو: 4 + 14i
مثال 2:
أوجد ناتج الجمع: ? = i+ i² + i³
الحل:
نعلم أن i = √-1، وبالتالي i² = -1، و i³ = i² * i = -i
نعوض هذه القيم في المعادلة:
i + i² + i³ = i + (-1) + (-i) = i – 1 – i = -1
إذن، ناتج الجمع هو: -1
إيجاد نتيجة طرح عددين مركبين
لطرح عددين مركبين، نقوم بطرح الأجزاء الحقيقية من بعضها البعض وطرح الأجزاء التخيلية من بعضها البعض.
مثال:
أوجد ناتج الطرح: ? = (5+3i) – (14+9i)
الحل:
نقوم بطرح الأجزاء الحقيقية (5 و 14) والأجزاء التخيلية (3i و 9i):
(5+3i) – (14+9i) = (5-14) + (3-9)i = -9 – 6i
إذن، ناتج الطرح هو: -9 – 6i
إيجاد ناتج ضرب عددين مركبين
لضرب عددين مركبين، نستخدم خاصية التوزيع (توزيع الضرب على الجمع).
مثال:
أوجد ناتج الضرب: ? = (4-2i) × (1+2i)
الحل:
(4-2i) × (1+2i) = 4×1 + 4×2i – 2i×1 – 2i×2i
= 4 + 8i – 2i – 4i²
بما أن i² = -1، فإن:
= 4 + 6i – 4(-1)
= 4 + 6i + 4
= 8 + 6i
إذن، ناتج الضرب هو: 8 + 6i
حساب نتيجة قسمة عددين مركبين
لقسمة عددين مركبين، نضرب البسط والمقام في مرافق المقام. مرافق العدد المركب (أ + بi) هو (أ – بi).
مثال:
أوجد ناتج القسمة: ? = (4-5i) ÷ (3+6i)
الحل:
مرافق المقام (3+6i) هو (3-6i). نضرب البسط والمقام في (3-6i):
((4-5i) / (3+6i)) * ((3-6i) / (3-6i)) = ((4-5i)(3-6i)) / ((3+6i)(3-6i))
البسط: (4-5i)(3-6i) = 12 – 24i – 15i + 30i² = 12 – 39i – 30 = -18 – 39i
المقام: (3+6i)(3-6i) = 9 – 18i + 18i – 36i² = 9 + 36 = 45
إذن، الناتج هو: (-18 – 39i) / 45 = -18/45 – (39/45)i = -2/5 – (13/15)i
إذن، ناتج القسمة هو: -2/5 – (13/15)i
