الفرق بين المعادلات التفاضلية العادية والجزئية

جدول المحتويات

• أنواع المعادلات التفاضلية
• المعادلات التفاضلية العادية
• المعادلات التفاضلية الجزئية
• أمثلة على المعادلات التفاضلية العادية
• أمثلة على المعادلات التفاضلية الجزئية
• المراجع

أنواع المعادلات التفاضلية

تُعرّف المعادلات التفاضلية (DEs) بأنها معادلات رياضية تربط بين دالة غير معروفة ومشتقاتها.
وتوجد العديد من أنواع المعادلات التفاضلية، وتُصنف عادةً إلى نوعين رئيسيين: المعادلات التفاضلية العادية والمعادلات التفاضلية الجزئية.

المعادلات التفاضلية العادية

تُعرّف المعادلة التفاضلية العادية (ODE) بأنها معادلة تتضمن مشتقات دالة واحدة فقط، والتي تعتمد على متغير مستقل واحد. بمعنى آخر، لا تحتوي المعادلة التفاضلية العادية على مشتقات جزئية.

على سبيل المثال، المعادلة dy/dx = ky(t) هي معادلة تفاضلية عادية لأن الدالة y (المتغير التابع) تعتمد فقط على المتغير t (المتغير المستقل).

المعادلات التفاضلية الجزئية

تُعرّف المعادلة التفاضلية الجزئية (PDE) بأنها معادلة تتضمن مشتقات جزئية لدالة متعددة المتغيرات.

على سبيل المثال، معادلة لابلاس، δ^2f/δx^2 + δ^2f/δy^2 = 0، هي معادلة تفاضلية جزئية لأن الدالة f تعتمد على متغيرين مستقلين x و y.

تُستخدم المعادلات التفاضلية الجزئية في العديد من المجالات العلمية والهندسية، بما في ذلك الفيزياء والرياضيات والكيمياء والهندسة، لحل العديد من المشكلات المعقدة، مثل انتشار الحرارة وموجات الصوت وديناميكا الموائع.

أمثلة على المعادلات التفاضلية العادية

تشمل بعض الأمثلة على المعادلات التفاضلية العادية ما يلي:

• dy/dx = sinx e^y
• d^2y/dx^2 + 10dy/dx + 9y = 0
• d^4y/dx^4 + d^3y/dx^3 +d^2y/dx^2 + dy/dx + y = cosx

يمكن تصنيف المعادلات التفاضلية العادية إلى الأنواع التالية:

• المعادلة التفاضلية العادية الخطية المتجانسة: y′′ + 4y′ − 3y = 0
• المعادلة التفاضلية العادية الخطية غير المتجانسة: y′′ − 3y = cos(x)
• نظام المعادلات التفاضلية العادية: x′+3y=3t,3x+4y′=4t^2

أمثلة على المعادلات التفاضلية الجزئية

تشمل بعض الأمثلة على المعادلات التفاضلية الجزئية ما يلي:

• δu/δx + δu/δy + u = e^(x-y)
• 3(δu/δx^2) + 7(δu/(δxδy)) + 6(δu/δy^2) = 0
• δv/δt – k(δv/δx^2) = v

تشمل بعض الأمثلة الشائعة للمعادلات التفاضلية الجزئية ما يلي:

• معادلة الحرارة في الفضاء أحادي البعد: ut − αuxx = 0
• معادلة الموجة في الفضاء أحادي البعد: utt − c^2uxx = 0
• معادلة لابلاس في فضاء البعد n: …+ Δu = 0 where Δu = uxx + uyy + uzz
• معادلة الحرارة في فضاء البعد n: ut − αΔu = 0
• معادلة الموجة في فضاء البعد n: utt − c^2Δu = 0

المراجع

1. “Partial Differentiation”,toppr, Retrieved 22/2/2022. Edited.
2. Mark Zegarelli (21/4/2017),”Identifying Ordinary, Partial, and Linear Differential Equations”,dummies, Retrieved 22/2/2022.
3. Himanshu Singla (17/4/2018),”What is the difference between ordinary differential equations and partial differential equations?”,quora, Retrieved 22/2/2022.
4. Eric Platt , Ph.D in Mathematics (29/5/2021),”What is the difference between ordinary differential equations and partial differential equations?”,quora, Retrieved 22/2/2022.