فهرس المحتويات
مفهوم الهوية الجمعية
في علم الرياضيات، يُعرف العنصر المحايد بأنه ذلك العنصر الذي عند إجرائه على عملية حسابية مع عنصر آخر، فإنه لا يؤثر على نتيجة العملية. بمعنى آخر، يبقى العنصر الآخر كما هو دون تغيير. يُصنف العنصر المحايد إلى نوعين رئيسيين: الهوية الجمعية والهوية الضربيه. جدير بالذكر أنه لا يوجد هوية مماثلة لعمليتي الطرح أو القسمة.
الهوية الجمعية هي الصفر. عند إضافة الصفر إلى أي عدد حقيقي، أو إضافة العدد الحقيقي إلى الصفر، فإن النتيجة تكون العدد الحقيقي نفسه. ببساطة، إضافة الرقم صفر إلى أي عملية جمع لا تغير من نتيجة هذه العملية.
يُمكن التعبير عن ذلك بالمعادلة التالية:
س + 0 = 0 + س = س حيث س: رقم حقيقي.
نماذج توضيحية للهوية الجمعية
فيما يلي بعض الأمثلة التي توضح مفهوم الهوية الجمعية:
- 6 = 6 + 0
- 2.23 = 0 + 2.23
- 7,321 = 0 + 7,321
- 2- = 0 + 2-
- 18 = 18 + 0
مفهوم الهوية الضربيه
الهوية الضربيه هو الرقم 1. عند ضرب الرقم واحد في أي عدد حقيقي، أو ضرب العدد الحقيقي في الرقم واحد، تكون النتيجة هي العدد الحقيقي نفسه. إذ أن إدخال الرقم واحد في أي عملية ضرب لا يؤثر على الناتج، ويبقى الرقم كما هو.
يُمكن التعبير عن ذلك بالمعادلة التالية:
س×1 = 1×س = س حيث س: رقم حقيقي.
أمثلة للهوية الضربيه
فيما يلي بعض الأمثلة التي توضح مفهوم الهوية الضربيه:
- 6 = 6×1
- 4.3 = 1 × 4.3
- 7,391 = 7,391 × 1
- 61 = 61 × 1
- 41- = 41- × 1
تبسيط العبارات الرقمية باستعمال خاصية العنصر المحايد
تبسيط العبارات الرقمية هو عملية إعادة كتابة المسألة الحسابية بطريقة مختلفة دون تغيير قيمتها الأصلية، وذلك لجعلها أبسط وأسهل للحل. يتم ذلك عن طريق تقليل عدد العمليات الحسابية (جمع، طرح، ضرب، قسمة) قدر الإمكان، باستخدام خواص رياضية مختلفة مثل خاصية العنصر المحايد، خاصية التوزيع، وخاصية التبادل.
تُعد الهوية الضربيه أداة مهمة لتبسيط العبارات الرقمية، خاصةً تلك التي تتضمن جمع الكسور العشرية.
أمثلة على تبسيط العبارات الرقمية
مثال 1:
أوجد ناتج العملية الحسابية التالية: ? = 0 + 8 + 1×5
لتبسيط المعادلة، نقوم بتقليل عمليات الضرب والجمع قدر الإمكان.
باستخدام الهوية الضربيه، يمكننا تبسيط عملية الضرب: 1 × 5 = 5.
تصبح المعادلة: ? = 0 + 8 + 5
باستخدام الهوية الجمعية، يمكننا تبسيط عملية الجمع: 0 + 8 = 8.
تصبح المعادلة: ? = 8 + 5
الحل: 13 = 8 + 5
مثال 2:
أوجد ناتج العملية الحسابية التالية: ? = (3+0) × 3 + 2×1 + 1×4
لتبسيط المعادلة، نقوم بتقليل عمليات الضرب والجمع قدر الإمكان.
باستخدام الهوية الضربيه: 1 × 4 = 4 و 2 × 1 = 2.
تصبح المعادلة: ? = (0+3) × 3 + 2 + 4
باستخدام الهوية الجمعية: 0 + 3 = 3.
تصبح المعادلة: ? = 3 × 3 + 2 + 4
نجري عملية الضرب أولاً: 3 × 3 = 9.
تصبح المعادلة: ? = 9 + 2 + 4
نجمع الأعداد من اليسار إلى اليمين: 9 + 2 + 4 = 15.
الحل: 15 = 9 + 6
مثال 3:
أوجد ناتج العملية الحسابية التالية: ? = 4/5 + 1/2
لتبسيط المسألة، نستخدم الهوية الضربيه بضرب كل كسر بالرقم 1.
تصبح المعادلة: ? = 1 × 4/5 + 1 × 1/2
للتوحيد المقام، نحول العدد 1 إلى كسر مقامه نفس مقام الكسر الآخر. لذلك، نحول 1 إلى 2/2 للكسر الأول و 5/5 للكسر الثاني.
تصبح المعادلة: ? = 2/2 × 4/5 + 5/5 × 1/2
نضرب البسط في البسط والمقام في المقام لكل كسر.
تصبح المعادلة: ? = 8/10 + 5/10
نجمع البسط مع البسط والمقام يبقى كما هو.
الحل: 13/10
الخلاصة
العنصر المحايد هو العنصر الذي لا يؤثر على نتيجة العملية الحسابية عند إجرائه مع عنصر آخر. ينقسم إلى قسمين: الهوية الجمعية وهي الصفر، والهوية الضربيه وهي الواحد. استخدام خاصية العنصر المحايد يساعد في تبسيط العبارات الرقمية وتقليل العمليات الحسابية لتسهيل حلها.
