الصلة بين التباين القياسي والمعدل

شرح المعدل الحسابي

يُحسب المعدل الحسابي لمجموعة من البيانات باستخدام المعادلة التالية:

المعدل الحسابي = مجموع قيم جميع البيانات / عددها الكلي

وبالرموز:
م = (س 1 + س 2 + س 3 +…… + س ن) / ن

وبالرموز الإنجليزية:
(x̅ = ∑ (xi) / (n

حيثُ إنّ:

• م (x̅): المتوسّط الحسابيّ.
• س (xi): قيمة البيانات.
• ن (n): عدد القيم الكليّ.

مثال:

احسب المعدل الحسابي للأرقام الآتية: 25، 20، 37، 32، 47، 40

مجموع الأرقام في المجموعة هو= 25+ 20+ 37+ 32+ 47+ 40=201

عدد الأرقام في المجموعة هو= 6

إذًا المعدل الحسابي أو الناتج النهائي هو= 201/6= 33.5

شرح التباين القياسي

يُحسب التباين القياسي اعتمادًا على المعدل الحسابي، ويُمكن تمثيله بالصيغة الرياضيّة الآتية:

الانحراف المعياري = (√ ( (القيمة الأولى – الوسط الحسابي) ² + (القيمة الثانية – الوسط الحسابي) ² +… + (القيمة الأخيرة – الوسط الحسابي) ²) / (عدد القيم الكلي -1) )

وبالرموز:
ح م = (√ ( (س 1- م) ² + (س 2 – م) ² +… + (س ن – م) ² )/ (ن -1) )

وبالرموز الإنجليزية:
[(σ = √ [∑ ((xi – x̅)²) / (n – 1]

حيثُ إنّ:

• ح م (σ): التباين القياسيّ.
• م (x̅): المتوسّط الحسابيّ.
• س (xi): قيمة البيانات.
• ن (n): عدد القيم الكليّ.

مثال:

ما هي قيمة الانحراف المعياري لعينة مكونة من القيم الآتية (1، 2، 2، 4، 6)

أولاً يجب إيجاد قيمة الوسط الحسابي للقيم

الوسط الحسابي = (1 + 2 + 2 + 4 + 6) / 5

إذاً الوسط الحسابي = 15 / 5 = 3

ثم يجب طرح الوسط الحسابي من القيمة الأولى ثم تربيع الناتج، وإعادة هذه العملية لجميع القيم المتبقية:

(القيمة – الوسط الحسابي للعينة) ^2

(1 – 3) ^2 = (-2) ^2 = 4

(2 – 3) ^2 = (-1) ^2 = 1

(2 – 3) ^2 = (-1) ^2 = 1

(4 – 3) ^2 = (1) ^2 = 1

(6 – 3) ^2 = (3) ^2 = 9

ثم يجب جمع القيم الناتجة من الخطوة السابقة: 4 + 1 + 1 + 1 + 9 = 16

وقسمة الناتج على عدد القيم مطروحًا منها 1: 16 / (5 – 1) = 16/ 4 = 4

ثم أخذ الجذر التربيعي للناتج السابق لإيجاد قيمة الانحراف المعياري للعينة:

الانحراف المعياري للعينة = √4 = 2