الثابت النيبيري: نظرة متعمقة

لمحة عامة عن الثابت النيبيري

يعتبر الثابت النيبيري، المعروف أيضًا بـ “عدد أويلر”، واحدًا من أهم الثوابت الرياضية، ويحتل مكانة مرموقة بعد الثابت π (باي). يرمز له بالحرف (e) في اللاتينية، و (هـ) في العربية. قيمته التقريبية هي (2.7182818284590452353602874713527…) وهو عدد غير كسري وغير منتهٍ، مما يعني أنه لا يمكن تمثيله ككسر بسيط. يمثل هذا الثابت أساس اللوغاريتم الطبيعي الذي قدمه عالم الرياضيات الاسكتلندي جون نابير، ولذلك سُمي بالثابت النيبيري. بينما يُعرف أيضًا باسم ثابت أويلر نسبة إلى العالم السويسري ليونهارد أويلر.

اللوغاريتم الذي يعتمد على الثابت النيبيري كأساس يُعرف باللوغاريتم الطبيعي، ويُكتب بالشكل log_e(س) أو ln(x). الدوال التي تتضمن الثابت النيبيري، مثل ق(س) = هـ^س واللوغاريتم الطبيعي ln(س)، تستخدم على نطاق واسع لتمثيل المتغيرات في العديد من المجالات العلمية، مثل معادلات الاضمحلال الإشعاعي في الكيمياء والفيزياء، ونماذج النمو السكاني، ودراسة تغيرات درجة الحرارة. علاوة على ذلك، يمكن استخدام اللوغاريتم الطبيعي لحل المعادلات الأسية المختلفة.

مثال: لإيجاد حل للمعادلة الأسية التالية: 3^س²-1 = 8

نقوم بإدخال اللوغاريتم الطبيعي على كلا الطرفين:

ln(3^{س² – 1}) = ln(8)

باستخدام خصائص اللوغاريتمات:

(س²-1) × ln(3) = ln(8)

س²-1 = ln(8) / ln(3)

بالتالي: س = √((ln(8) / ln(3)) + 1)

رحلة اكتشاف الثابت النيبيري

بدأت فكرة الثابت النيبيري في الظهور عام 1618م عندما أنشأ العالم نابير جدولًا يوضح اللوغاريتمات الطبيعية لعدة أعداد. على الرغم من أن مفهوم اللوغاريتمات في ذلك الوقت لم يكن مطابقًا تمامًا لفهمه الحالي، إلا أن العلماء بدأوا في فهم الثابت النيبيري عندما قام سانت فنسنت بحساب مساحة المنطقة الواقعة أسفل القطع الزائد القائم، على الرغم من أنه لم يصل إلى مفهوم الثابت النيبيري بشكل صريح.

لاحقًا، في عام 1661م، أدرك هيجنز العلاقة بين اللوغاريتمات والقطع الزائد القائم، وأوضح أن المساحة أسفل القطع الزائد في المنطقة بين 1 و هـ تساوي 1، وهي الحقيقة التي جعلت من الثابت النيبيري أساسًا للوغاريتم الطبيعي في المستقبل، وهو اكتشاف لم يتمكن العلماء من فهمه في ذلك الوقت.

في عام 1668م، استخدم نيكولاس مركاتور مفهوم اللوغاريتم الطبيعي للمرة الأولى، وعرفّه بأنه اللوغاريتم الذي أساسه الثابت النيبيري (هـ)، ولكنه في الوقت نفسه لم يتمكن من تحديد قيمة الثابت هـ. وفي عام 1683م، حاول العالم جاكوب برنولي حل مسألة تتعلق بالفائدة المركبة، وحاول حساب قيمة النهاية (1 + (1/ن))^ن عندما تقترب ن من المالانهاية، باستخدام نظرية ذات الحدين. توصل إلى أن قيمة هذه النهاية تتراوح بين 2 و 3، وهي قيمة الثابت النيبيري هـ. وبذلك، فإن تحديد قيمة الثابت النيبيري (هـ) لأول مرة لم يكن من خلال اللوغاريتمات، بل من خلال حساب الفائدة المركبة.

ظهر الثابت هـ بقيمته الحقيقية لأول مرة عام 1690م عندما كتب العالم لايبنتز رسالة إلى هيجنز، وذكر القيمة الحقيقة للثابت النيبيري فيها، ولكنه لم يرمز له بالرمز (هـ) أو (e)، وإنما رمز له بالرمز (b). بعد ذلك، تم استخدام الرمز (e) أو هـ للثابت النيبيري لأول مرة في رسالة كتبها أويلر إلى غولدباخ عام 1731م، والذي قام بعد ذلك بالعديد من الاكتشافات المتعلقة به خلال السنوات التالية.

في عام 1748م، نشر أويلر بحثًا علميًا استعرض فيه مفهوم الثابت النيبيري وقيمته بالضبط، حيث أوضح أن قيمته تساوي قيمة النهاية (1 + (1/ن))^ن عندما تقترب ن من المالانهاية، وقرّب أويلر هذا العدد إلى 18 منزلة عشرية، لتقدر قيمته منذ ذلك الوقت بالقيمة: 2.718281828459045235.

أساليب تقدير الثابت النيبيري

توجد عدة طرق لتقدير قيمة الثابت النيبيري، ولكن جميع هذه الطرق لا تعطي قيمة دقيقة تمامًا لهذا العدد، لأن الثابت النيبيري هو عدد غير نسبي ولا نهائي وغير دوري، ويتطلب أكثر من تريليون منزلة عشرية لتمثيله بدقة. من بين هذه الطرق:

تقدير الثابت النيبيري باستعمال النهايات

يمكن حساب قيمة الثابت النيبيري باستخدام النهاية التالية: نها (1 + (1/ن))^ن عندما تقترب قيمة ن من المالانهاية. كلما زادت قيمة ن، أصبحت قيمة الثابت النيبيري أكثر دقة.

حساب الثابت النيبيري من خلال المتسلسلات

يمكن أيضًا حساب قيمة الثابت النيبيري باستخدام المتسلسلة التالية:

قيمة الثابت النيبيري = (1/ 0!) + (1 / 1!) + (1 / 2!) + (1 / 3!) + (1 / 4!) + (1 / 5!) + (1 / 6!) + (1 / 7!) + …

حيث إنّ الإشارة (!) تعني مضروب العدد. وبالتالي، بإيجاد نتيجة هذه القيم ينتج أن:

قيمة الثابت النيبيري = 1 + 1 + (1/2) + (1/6) + (1/24) + (1/120) + … ≈ 2.71666

تجدر الإشارة إلى أن العالم أويلر نفسه استخدم هذه المتسلسلة لتقدير قيمة الثابت النيبيري، وقدّر قيمته لأقرب 18 منزلة عشرية من خلالها.

الخصائص المميزة للثابت النيبيري

يمكن تلخيص خصائص الثابت النيبيري على النحو التالي:

• مقلوب الثابت النيبيري يساوي نها_س←∞ (1 – (1/س))^س، ويساوي 1/هـ.
• مشتقة الدالة الأسية التي أساسها الثابت النيبيري، أي: (هـ^س)’ تساوي هـ^س.
• مشتقة اللوغاريتم الطبيعي، مثل: ln(س) تساوي 1/س.
• ∫ هـ^س دس = هـ^س + جـ.
• ∫ ln(س) دس = (س × ln(س)) – س + جـ.
• التكامل المحدود من 1 إلى هـ للدالة ∫1/س دس = 1، ويمكن التوصل إلى هذه النتيجة عن طريق إيجاد المساحة المحصورة بين أسفل الدالة (1/س) ومحور السينات في الفترة من 1 إلى هـ، ليتّضح أنها تساوي log_e(هـ) = 1.

حاول العالم أويلر ربط بعض الثوابت الرياضية المعروفة في علاقة رياضية واحدة، فتوصل إلى أن:

هـ^(i×π) + 1 = صفر

حيث إن:

• π: الثابت باي، وقيمته التقريبية 3.14.
• i: الجذر التربيعي للعدد -1، (i = √(-1)).
• هـ: الثابت النيبيري، وقيمته التقريبية = 2.71828182845.

استخدامات الثابت النيبيري

للثابت النيبيري العديد من الاستخدامات في الحياة العلمية والعملية، ومن أهمها ما يلي:

• يُستخدم في الدوال اللوغاريتمية والأسية.
• يُستخدم في حساب الفائدة المركبة.
• يُستخدم في حساب معدل اضمحلال النشاط الإشعاعي.
• يُستخدم في العديد من المعادلات الفيزيائية المختصة بالموجات، وأهمها معادلات الضوء والصوت والكم.
• يُستخدم في نظرية الاحتمالات.

المصادر والمراجع

• “Calculating Euler’s Constant (e)”, www.mathscareers.org.uk.
• “e (Euler’s Number)”, www.mathsisfun.com.
• “The Real Number e”, courses.lumenlearning.com.
• “E: The Irrationally Essential Euler’s Number”, ifsa.my.
• “e constant”, www.rapidtables.com.
• “e”, mathworld.wolfram.com.
• “Facts About the Number e: 2.7182818284590452…”, www.thoughtco.com.
• AVERY THOMPSON, COURTNEY LINDER (2/3/2021),”What’s the Big Deal With Euler’s Number?”, popular mechanics.