التداخل بين الدوال الأسية واللوغاريتمية

مقدمة

تعتبر الدوال الأسية واللوغاريتمية أدوات رياضية قوية تستخدم في مجموعة واسعة من التطبيقات العملية. من خلالهما، يمكننا فهم وتحليل الظواهر التي تتغير بمعدلات متسارعة أو متباطئة. تلعب هاتان الدالتان دورًا حيويًا في مجالات مثل النمو السكاني، التغيرات في قيمة الاستثمارات، والعديد من العمليات الأخرى التي تخضع لتغيرات مع مرور الوقت. العلاقة بين الدالة الأسية والدالة اللوغاريتمية هي علاقة انعكاسية، بمعنى أن كل دالة تعتبر معكوسًا للأخرى. هذا الترابط الوثيق يجعلهما أدوات أساسية في التحليل الرياضي.

تعريف الدالة الأسية

الدالة الأسية هي دالة رياضية يكون فيها المتغير (x) موجودًا في الأس. الصيغة العامة للدالة الأسية هي:

f( x )= b^( x )

حيث:

• x: هو المتغير.
• b: هو ثابت يمثل الأساس، وهو عدد حقيقي أكبر من 0 ولا يساوي 1.

إذا كان b > 1، فإن الدالة الأسية تمثل نموًا متزايدًا. أما إذا كان 0 < b < 1، فإنها تمثل نموًا متناقصًا. من بين أشهر الأمثلة على الأساس هو العدد النيبيري e.

تعريف الدالة اللوغاريتمية

الدالة اللوغاريتمية هي الدالة العكسية للدالة الأسية. يتم التعبير عنها بالصيغة العامة:

f( x ) = logb( x )

حيث:

• x: هو المتغير.
• b: هو ثابت يمثل الأساس، وهو عدد حقيقي أكبر من 0 ولا يساوي 1.

كما هو الحال في الدالة الأسية، إذا كان b > 1، فإن الدالة اللوغاريتمية تمثل نموًا متزايدًا، وإذا كان 0 < b < 1، فإنها تمثل نموًا متناقصًا. من بين الأسس الشائعة الاستخدام في الدوال اللوغاريتمية هي 10 و e.

صياغة العلاقة المتبادلة بين الدوال

عند فحص معادلات الدوال الأسية واللوغاريتمية، يمكننا ملاحظة العلاقة الوثيقة بينهما. إذا كانت لدينا معادلة أسية بالشكل:

a = b ^ (c)

فإن المعادلة اللوغاريتمية المقابلة لها تكون:

c = logb (a)

في حالة خاصة عندما يكون الأساس b = e، نستخدم الرمز “ln” للدلالة على اللوغاريتم الطبيعي، وتصبح المعادلة:

c = lnb (a)

لفهم هذه العلاقة بشكل أفضل، دعونا نلقي نظرة على المثال التالي:

إذا كان الأساس b = 2، فإن الدالة الأسية تكون a = 2^ (c) والدالة اللوغاريتمية تكون c = log2 (a). كيف يمكننا توضيح العلاقة بينهما؟

الحل:

لنفترض أن c = 3. بالتعويض في الدالة الأسية، نحصل على:

a = 2^3

a = 8

الآن، بالتعويض عن a = 8 في الدالة اللوغاريتمية، نحصل على:

c = log2( 8 )

نلاحظ أن c = 3، وهذا يعني أن الناتج في الدالة الأسية (a) يصبح المتغير في الدالة اللوغاريتمية (a)، والأس في الدالة الأسية (c) يصبح ناتج الدالة اللوغاريتمية (c). هذا يوضح العلاقة العكسية بين الدالتين.

قال تعالى في سورة إبراهيم، الآية 7: “وَإِذْ تَأَذَّنَ رَبُّكُمْ لَئِنْ شَكَرْتُمْ لَأَزِيدَنَّكُمْ ۖ وَلَئِنْ كَفَرْتُمْ إِنَّ عَذَابِي لَشَدِيدٌ”. هذه الآية تعكس نموًا متزايدًا في النعم بالشكر، وهو مفهوم يمكن تمثيله بالدوال الأسية في سياق مجازي.

قال رسول الله صلى الله عليه وسلم: “مَا نَقَصَتْ صَدَقَةٌ مِنْ مَالٍ” (صحيح مسلم). هذه الحديث يشير إلى البركة والنماء في المال بسبب الصدقة، ويمكن فهمه كمثال على النمو المتزايد (الدالة الأسية) على المدى الطويل.

المراجع

1. Amy Givler Chapman , Meagan Herald , Jessica Libertini (4/5/2021), “Logarithms and Exponential Functions”, mathematics libretexts.
2. “Exponential and Logarithmic Functions”, centennial college.
3. “Logarithmic Function Reference”, math’s is fun.