التحليل الحسابي: نظرة شاملة

مقدمة إلى التحليل الحسابي

التحليل الحسابي هو فرع من فروع الرياضيات وعلوم الحاسوب يتعامل مع تصميم وتطوير الخوارزميات العددية لحل المشكلات الرياضية التي تنطوي على متغيرات مستمرة. يسعى هذا المجال إلى إيجاد حلول تقريبية دقيقة للمسائل التي لا يمكن حلها تحليلياً، أو أن الحلول التحليلية غير عملية للحساب. هذه المشاكل تظهر في مجموعة واسعة من التخصصات، بما في ذلك العلوم الطبيعية، والهندسة، والاقتصاد، والعلوم الاجتماعية، والطب. غالباً ما يُشار إلى التحليل الحسابي أيضاً باسم “الطرق العددية” أو “الحساب العلمي”.

مع التطور الهائل في قدرات الحوسبة، أصبح التحليل الحسابي أداة أساسية في حل المشكلات المعقدة التي تواجه الباحثين والمهندسين. في الفترة ما بين 1980 و 1990، ظهر نظام متكامل يجمع بين التحليل الحسابي، ورسومات الحاسوب، والحسابات الرياضية الرمزية لتسهيل إنشاء وحل وتفسير النماذج الرياضية المعقدة.

تقنيات رياضية في التحليل الحسابي

يركز التحليل الحسابي على دراسة جميع الجوانب العددية للمشكلة المطروحة. يتضمن ذلك التطوير النظري، وفهم الأساليب العددية المختلفة، وتنفيذ هذه الأساليب في شكل برامج حاسوبية موثوقة وفعالة. يتشارك المحللون العدديون في مجموعة من الاهتمامات المشتركة، بما في ذلك التقنيات الرياضية المستخدمة في التحليل. تشمل هذه التقنيات:

• استبدال المشاكل: عندما نواجه مشكلة معقدة يصعب حلها مباشرةً، يمكننا استبدالها بمشكلة مماثلة ولكن أسهل في الحل. على سبيل المثال، يمكن استخدام الاستيفاء لتطوير طرق التكامل العددي وطرق إيجاد الجذور.
• الجبر الخطي والتحليل الحقيقي والوظيفي: تُعد هذه الفروع الرياضية أدوات أساسية في التحليل الحسابي، حيث توفر الأساس النظري لتطوير وتحليل الخوارزميات العددية.
• فهم طبيعة الخطأ: قبل تقريب الحل، من الضروري فهم طبيعة الخطأ المحتمل. هذا الفهم يساعد في إنشاء عمليات استقراء لتحسين دقة الطريقة العددية.
• استخدام كثيرات الحدود: كثير الحدود هو تعبير جبري يتكون من مجموعة من الأرقام والمتغيرات المرتبة بنمط معين، على النحو التالي: ل س^ن، حيث أن: ل هو معامل س، وينتمي إلى مجموعة الأعداد الحقيقية، و ن هي الدرجة أو القوة، وتنتمي إلى مجموعة الأعداد الصحيحة. على سبيل المثال، لكثير الحدود التالي جذور حساسة: (p(x) = (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4)(x − 5)(x − 6)(x − 7 و p(x) = x⁷− 28x⁶+ 322x⁵− 1,960x⁴− 6,769x³− 13,132x²+ 13,068x − 5,040. إذا تم تغيير معامل x⁶ إلى −28.002 ، فإن الجذور الأصلية (5 ,6) تتغيّر إلى الأعداد المركبة 5.459 ± 0.540i—a، وهو تغيير كبير في القيم. يُطلق على كثير الحدود (س) اسم غير مستقر فيما يتعلق بمشكلة اكتشاف الجذر. يجب ألا تكون الطرق العددية لحل المشكلات أكثر حساسية للتغيرات في البيانات من المشكلة الأصلية التي يجب حلها، علاوةً على ذلك ، يجب أن تكون صياغة المشكلة الأصلية مستقرة أو جيدة).

لمحة تاريخية عن التحليل الحسابي

تعود جذور التحليل الحسابي إلى العصور القديمة، حيث ظهرت الخوارزميات الأولى لحساب الجذور وحل المعادلات البسيطة حوالي عام 1650 قبل الميلاد. طور العلماء اليونانيون القدامى، مثل إيودوكسوس وأرخميدس، طرقًا متطورة لحساب المساحات والأطوال والأحجام الهندسية. ومع تطوير حساب التفاضل والتكامل من قبل إسحاق نيوتن وغوتفريد لايبنيز، أصبحت النماذج الرياضية أكثر دقة وتعقيدًا، مما أدى إلى الحاجة إلى حلول تقريبية، وبالتالي إلى تطوير التحليل الحسابي.

كان لاكتشاف اللوغاريتمات من قبل جون نابيير في عام 1614 تأثير كبير على التطور اللاحق للتحليل الحسابي. فقد سهلت اللوغاريتمات العمليات الحسابية المعقدة، مما أدى إلى تطوير أول حاسوب آلي من قبل تشارلز باباج في القرن التاسع عشر.

كما ساهم نيوتن بشكل كبير في التحليل الحسابي من خلال ابتكار العديد من الطرق العددية لحل المشكلات الرياضية. ومن بين العلماء الآخرين الذين قدموا إسهامات كبيرة في هذا المجال جوزيف لاغرانج وليونارد أويلر وكارل فريدريش جاوس.

أساليب حل المعادلات غير الخطية في التحليل الحسابي

تُستخدم مجموعة من الطرق العددية، المعروفة باسم الطرق التكرارية، لإيجاد حلول تقريبية لجذور المعادلات غير الخطية. تفترض هذه الطرق قيمة أولية (x₀) ثم تقوم بتكرار العملية الحسابية للحصول على قيم أكثر دقة للجذر. من بين الطرق الأكثر شيوعًا:

• مبرهنة القيمة الوسطى: تعتمد العديد من طرق حل المعادلات غير الخطية على الصيغة التكرارية التالية: x_n+1= x_n−f(x_n) /𝑘 ، حيث إنّ:……n= 0,1,2,3,4,5 و 𝑘=f(x_n) − f(f_n-1)/ x_n– x_n-1
• طريقة التكرار: تستخدم هذه الطريقة لحل المعادلات عندما 0=(f(x، وذلك بوضع (X = g (x. على سبيل المثال، يمكن كتابة المعادلة (𝑥³ −2 = 0) بعدة طرق، منها:𝑥 = 𝑥³ −2𝑥 +𝑥، و 𝑥 = 2-𝑥³+5𝑥/ 5 و 𝑥 = √2 /𝑥. ثم يتم إيجاد قيمة مناسبة X=X₀، وتتكون من خلالها سلسلة من التقريبات إلى حين الوصول إلى جذر المعادلة، وهو: ((x = g (x)، وذلك باستخدام الصيغة الآتية:(x_n+1= g(x_n
• طريقة نيوتن- رافسون: لحل معادلات غير خطية باستخدام هذه الطريقة، تُكتَب المعادلة على صورة (0=(f (x)، ثم يتم إيجاد قيمة مقربة للجذر الصحيح الواقع بين القيمتين (a, b)، ومن ثمّ إيجاد القيم على شكل متتالية، وبصورة عامة فإنّ:x_n+1= x_n−f(x_n) /f'(x_n)

المراجع

1. Kendall E. Atkinson,”Numerical analysis”، www.britannica.com
2. “Polynomial”, www.britannica.com
3. طارق الراوي، بإشراف الأستاذ المساعد الدكتور سالم بدر محمد، الرياضيات والتحليل العددي، العراق: دار الأنبار، الفصل العاشر- حل المعادلات الخطية وغير الخطية.