الاستقراء الرياضي: مفهومه، تطبيقاته، وأمثلة محلولة

فهم مبدأ الاستقراء الرياضي

يُعرف الاستقراء الرياضي (Mathematical Induction) بأنه أسلوب قوي في الرياضيات يُستخدم لإثبات صحة عبارات رياضية معينة (نظريات أو صيغ) لجميع الأعداد الطبيعية (n = 0, 1, 2, 3…). يتمثل هذا الأسلوب في خطوتين أساسيتين للتحقق من صحة العبارة:

خطوات إثبات العبارات بالاستقراء الرياضي

1. الخطوة الأساسية: إثبات صحة العبارة الرياضية للقيمة الأساسية، غالبًا ما تكون n = 1. يُعرف هذا بالإثبات الأساسي أو حالة القاعدة.
2. خطوة الاستنتاج: افتراض صحة العبارة لقيمة n = k (حيث k عدد طبيعي) ثم إثبات صحتها لقيمة n = k + 1. هذا يثبت أن صحة العبارة لقيمة معينة تؤدي إلى صحتها للقيمة التالية.

بإتمام هاتين الخطوتين، نستنتج أن العبارة صحيحة لجميع الأعداد الطبيعية.

تشبيه عملي للاستقراء الرياضي

يمكن تشبيه الاستقراء الرياضي بسلسلة من قطع الدومينو المتراصة. سقوط القطعة الأولى (الخطوة الأساسية) يؤدي إلى سقوط القطعة الثانية (الخطوة الاستنتاجية)، وهكذا دواليك. إذا كان سقوط كل قطعة (صحة العبارة لقيمة n) يضمن سقوط القطعة التالية (صحة العبارة لقيمة n+1)، فستسقط جميع قطع الدومينو (تصبح العبارة صحيحة لجميع الأعداد الطبيعية).

أمثلة عملية محلولة

لتوضيح ذلك، إليك مثالين محلولين:

مثال (1): إثبات صحة مجموع الأعداد الفردية

أثبت أن 1 + 3 + 5 +…..+(2n-1) = n² لجميع الأعداد الطبيعية n ≥ 1.

1. الخطوة الأساسية (n=1): 2(1) – 1 = 1² => 1 = 1 (صحيحة)
2. خطوة الاستنتاج: نفرض أن العبارة صحيحة لـ n = k، أي: 1 + 3 + 5 +…..+(2k-1) = k²
   
   نريد إثبات صحتها لـ n = k + 1:
   
   1 + 3 + 5 +…..+(2k-1) + (2(k+1)-1) = (k+1)²
   
   بالتعويض عن 1 + 3 + 5 +…..+(2k-1) بـ k² (من الفرض):
   
   k² + (2k+1) = k² + 2k + 1 = (k+1)² (صحيحة)

بذلك، نكون قد أثبتنا صحة العبارة لجميع الأعداد الطبيعية.

مثال (2): إثبات خاصية الأسس

أثبت أن aⁿ × bⁿ = (ab)ⁿ لجميع الأعداد الطبيعية n ≥ 1.

1. الخطوة الأساسية (n=1): a¹ × b¹ = (ab)¹ => ab = ab (صحيحة)
2. خطوة الاستنتاج: نفرض أن العبارة صحيحة لـ n = k، أي: a^k × b^k = (ab)^k
   
   نريد إثبات صحتها لـ n = k + 1:
   
   a^k+1 × b^k+1 = (ab)^k+1
   
   يمكن كتابة ذلك على الصورة: a^k × a × b^k × b = (ab)^k × (ab)
   
   بالتعويض عن a^k × b^k بـ (ab)^k (من الفرض):
   
   (ab)^k × ab = (ab)^k+1 (صحيحة)

وبذلك، نكون قد أثبتنا صحة العبارة لجميع الأعداد الطبيعية.

المراجع

[1] Mathematical Induction, tutorialspoint, Retrieved 6/2/2022.
[2] Mathematical Induction, math’s is fun, Retrieved 6/2/2022.
[3] Harris Kwong (11/3/2020), Mathematical Induction – An Introduction, mathematical libretexts, Retrieved 6/2/2022.

جدول المحتويات