جدول المحتويات
مقدمة في الأجسام الهندسية
في عالمنا المحيط، نجد العديد من الأجسام التي تشغل حيزًا في الفضاء وتتميز بثلاثة أبعاد: الطول والعرض والارتفاع. هذه الأجسام تُعرف بالأجسام الهندسية أو الأشكال ثلاثية الأبعاد. بدءًا من الكرة الأرضية التي نعيش عليها، مرورًا بالمباني الشاهقة، وصولًا إلى الأدوات اليومية البسيطة، تتجلى الأجسام الهندسية في كل مكان حولنا. تشمل هذه الأجسام أمثلة شائعة مثل المكعب، الكرة، الأسطوانة، الهرم، المخروط، ومتوازي المستطيلات. هذه الأجسام ليست مجرد مفاهيم نظرية، بل هي أساس للعديد من التطبيقات الهندسية والعلمية في حياتنا اليومية.
أقسام الأجسام الهندسية
يمكن تصنيف الأجسام الهندسية إلى قسمين رئيسيين بناءً على طبيعة الأسطح المكونة لها:
الأجسام متعددة الأوجه
تتميز الأجسام متعددة الأوجه بأن جميع أسطحها مستوية ومسطحة. تتكون هذه الأسطح من مضلعات (أشكال ثنائية الأبعاد ذات أضلاع مستقيمة). كلمة “متعددة الأوجه” مشتقة من الكلمات اليونانية (poly) بمعنى “الكثير” و (hedron) بمعنى “وجه” أو “سطح”. ومن أمثلة الأجسام متعددة الأوجه:
- المكعب: يتكون من ستة أوجه مربعة متطابقة.
- المنشور الثلاثي: يمتلك قاعدتين مثلثتين متوازيتين و أوجه جانبية مستطيلة.
- الهرم الثلاثي: له قاعدة مثلثة وأوجه جانبية مثلثة تلتقي في قمة.
الأجسام ذات الأسطح المنحنية
تتميز هذه الأجسام بوجود سطح واحد على الأقل غير مستوٍ أو منحني. أمثلة على هذه الأجسام تشمل:
- الكرة: شكل دائري ثلاثي الأبعاد، جميع النقاط على سطحه تبعد نفس المسافة عن المركز.
- الأسطوانة: تتكون من قاعدتين دائريتين متطابقتين متصلتين بسطح منحني.
- المخروط: له قاعدة دائرية وسطح منحني يضيق ليشكّل نقطة (رأس المخروط).
مصطلحات أساسية في دراسة الأجسام
لفهم الأجسام الهندسية بشكل كامل، من الضروري معرفة بعض المصطلحات الأساسية:
- مساحة السطح: هي المساحة الكلية التي تغطي السطح الخارجي للجسم ثلاثي الأبعاد، وتقاس بوحدات مربعة. يمكن تقسيمها إلى:
- مساحة السطح المنحني: مساحة الأجزاء المنحنية من سطح الجسم.
- المساحة الجانبية: المساحة الكلية باستثناء مساحة القاعدة (أو القاعدتين).
- المساحة الكلية: المساحة الكاملة لسطح الجسم بما في ذلك مساحة القاعدة (أو القاعدتين).
- الحجم: هو مقدار الحيز الذي يشغله الجسم في الفضاء، ويقاس بوحدات مكعبة.
- الأوجه، الرؤوس، والحواف: يمكن تطبيق معادلة أويلر (Euler’s Formula) على العديد من الأجسام متعددة الأوجه: عدد الأوجه + عدد الرؤوس – عدد الحواف = 2.
أبرز الأجسام الهندسية
المكعب
المكعب هو حالة خاصة من متوازي المستطيلات، يتميز بالخصائص التالية:
- يتكون من ستة أوجه مربعة متطابقة.
- له 12 ضلعًا مستقيمًا متساويًا في الطول.
- يمتلك ثمانية رؤوس.
قوانين هامة متعلقة بالمكعب
- حجم المكعب: (طول الضلع)³.
- مساحة سطح المكعب: 6 × (طول الضلع)².
متوازي المستطيلات
يتميز متوازي المستطيلات بالخصائص التالية:
- يتكون من ستة أوجه مستطيلة.
- كل وجهين متقابلين متطابقين.
- له 8 رؤوس و 12 ضلعًا.
قوانين أساسية لحساب متوازي المستطيلات
- حجم متوازي المستطيلات: الطول × العرض × الارتفاع.
- المساحة الجانبية: 2 × (الطول × الارتفاع + العرض × الارتفاع).
- المساحة الكلية: المساحة الجانبية + 2 × (الطول × العرض).
الكرة
الكرة هي شكل دائري ثلاثي الأبعاد يتميز بالخصائص التالية:
- جميع النقاط على سطحها تبعد نفس المسافة عن المركز (نصف القطر).
- ليس لها رؤوس أو حواف.
- لها سطح واحد منحني.
قوانين مهمة في دراسة الكرة
- المساحة الكلية للكرة: 4 × π × (نصف القطر)².
- حجم الكرة: (4/3) × π × (نصف القطر)³.
المخروط
المخروط هو جسم له قاعدة دائرية وجوانب مائلة تلتقي في نقطة (الرأس). يوجد نوعان من المخاريط: قائم ومائل.
أهم قوانين المخروط
- مساحة قاعدة المخروط: π × (نصف القطر)².
- المساحة الجانبية للمخروط: π × (نصف القطر) × (الطول المائل).
- المساحة الكلية للمخروط: π × (نصف القطر) × [(نصف القطر) + (الطول المائل)].
- حجم المخروط: (1/3) × π × (نصف القطر)² × (الارتفاع).
الأسطوانة
الأسطوانة هي جسم يتكون من قاعدتين دائريتين متطابقتين متصلتين بسطح منحني.
قوانين هامة لحساب الأسطوانة
- مساحة سطح الأسطوانة الكلية: 2 × π × (نصف القطر) × [(الارتفاع) + (نصف القطر)].
- المساحة الجانبية للأسطوانة: 2 × π × (نصف القطر) × (الارتفاع).
- حجم الأسطوانة: π × (نصف القطر)² × (الارتفاع).
الهرم
الهرم هو جسم متعدد الأوجه له قاعدة وثلاثة أوجه جانبية مثلثة أو أكثر تلتقي في قمة. يمكن أن تكون القاعدة أي مضلع.
قوانين أساسية للهرم
- مساحة سطح الهرم: مساحة القاعدة + (1/2) × (محيط القاعدة) × (الارتفاع الجانبي).
- حجم الهرم: (1/3) × (مساحة القاعدة) × (الارتفاع).
المنشور
المنشور هو جسم ثلاثي الأبعاد يتكون من قاعدتين متطابقتين ومتوازيتين وأوجه مستطيلة. تُسمى المنشورات بناءً على شكل قاعدتها (مثل المنشور الثلاثي، المنشور الخماسي، إلخ).
قوانين المنشور الهندسية
- مساحة سطح المنشور: (2 × مساحة القاعدة) + (محيط القاعدة × الارتفاع).
- حجم المنشور: مساحة القاعدة × الارتفاع.
خلاصة لأهم المعلومات عن الأجسام
هذا الجدول يوضح الخصائص المميزة لكل شكل هندسي:
الشكل الهندسي | عدد الوجوه | عدد الرؤوس | عدد الأضلاع |
---|---|---|---|
الكرة | وجه واحد منحنٍ | ليس لها رؤوس | ليس لها أضلاع |
المخروط | وجهان (قاعدة دائرية ووجه منحني) | رأس واحد | ضلع واحد منحنٍ |
الأسطوانة | ثلاثة وجوه (قاعدتان دائريتان ووجه منحني) | ليس لها رؤوس أو زوايا | حافتان دائريتان |
المكعب | ستة أوجه مربعة الشكل | ثمانية رؤوس | 12 ضلع مستقيم |
متوازي المستطيلات | ستة وجوه مستطيلة الشكل | 8 رؤوس | 12 ضلع مستقيم |
الهرم الرباعي | خمسة وجوه (قاعدة مربعة وأربعة وجوه مثلثة) | 5 رؤوس | 8 أضلاع مستقيمة |
الهرم الثلاثي | أربعة وجوه مثلثة الشكل | 4 رؤوس | 6 أضلاع مستقيمة |
المنشور الثلاثي | خمسة وجوه (قاعدتان مثلثتان وثلاثة وجوه مستطيلة) | 6 رؤوس | 9 أضلاع |
ملخص لأهم قوانين الأجسام الهندسية
هذا الجدول يلخص القوانين الأساسية المتعلقة بحساب حجم ومساحة سطح الأجسام الهندسية:
الشكل الهندسي | قانون الحجم | قانون مساحة السطح | معاني الرموز |
---|---|---|---|
الكرة | (4/3)×π×نق³ | 4×π×نق² | نق: نصف قطر الكرة |
المخروط | (1/3)×π×نق²×ع | π×نق²+π×نق×ل | نق: نصف قطر القاعدة، ع: الارتفاع، ل: الطول المائل |
الأسطوانة | π×نق²×ع | 2×π×نق×(ع+نق) | نق: نصف قطر القاعدة، ع: الارتفاع |
المكعب | طول الضلع³ | 6×طول الضلع² | – |
متوازي المستطيلات | أ×ب×ع | 2×(أ×ب+ع×أ+ع×ب) | أ، ب، ع: الطول، العرض، الارتفاع |
الهرم | (1/3)×مساحة القاعدة×الارتفاع | مساحة القاعدة+(1/2)×محيط القاعدة×الارتفاع الجانبي | – |
المنشور | مساحة القاعدة×الارتفاع | (2×مساحة القاعدة)+(محيط القاعدة×الارتفاع) | – |
أمثلة تطبيقية متنوعة
فيما يلي أمثلة متنوعة لتوضيح كيفية تطبيق القوانين على الأجسام الهندسية المختلفة:
المثال الأول: مخروط دائري قائم ارتفاعه 8 سم، ونصف قطره 6 سم. ما هو حجمه؟
الحل: حجم المخروط = (1/3) × π × (6 سم)² × 8 سم = 96π سم³.
المثال الثاني: كرة نصف قطرها 5 سم. ما هي مساحة سطحها؟
الحل: مساحة سطح الكرة = 4 × π × (5 سم)² ≈ 314 سم².
المثال الثالث: ما هو حجم الهرم الرباعي الذي طول قاعدته 10 سم، وارتفاعه 18 سم؟
الحل: مساحة قاعدة الهرم = (10 سم)² = 100 سم². حجم الهرم = (1/3) × 100 سم² × 18 سم = 600 سم³.
المثال الرابع: إذا كان طول ضلع المكعب 10 سم، فما هو حجم المكعب ومساحة سطحه؟
الحل: حجم المكعب = (10 سم)³ = 1000 سم³. مساحة سطح المكعب = 6 × (10 سم)² = 600 سم².
المثال الخامس: ما هو حجم المنشور الثلاثي الذي مساحة قاعدته 25 م² وارتفاعه 12 م؟
الحل: حجم المنشور = 25 م² × 12 م = 300 م³.
المراجع
- What are Solid Shapes? – Toppr
- Definition of Solid – Maths is Fun
- Polyhedrons – Maths is Fun
- Three Dimensional Shapes – BYJU’S
- Vertices, Edges and Faces – Maths is Fun
- Common Solid Figures – Math Only Math
- Solid Figures: Definition, Properties & Examples – Study.com
- Solid Geometry – Online Math Learning
- Math Formulas for Geometric Shapes – ThoughtCo
- Faces, Edges, and Vertices of Solids – CK12
- Cone – Maths is Fun
- Pyramid – Math Open Reference
- Three Dimensional Shapes – Barrscourt Primary School
- Volume of a Cone – Mathopolis
- Sphere – Maths is Fun
- Volume of a Pyramid – Varsity Tutors
- Cube – BYJU’S
- Prisms – Maths is Fun