استكشاف عالم الهندسة الإقليدية

ما هي الهندسة الإقليدية؟

تُعرف الهندسة الإقليدية بدراسة الأشكال ثنائية وثلاثية الأبعاد، معتمدة على المبادئ والافتراضات التي وضعها العالم اليوناني الشهير إقليدس، المعروف بأبو الهندسة. قام إقليدس بتعريف مجموعة من القواعد والنظريات الأساسية التي تُشكل أساس دراسة هذه الهندسة بدقة. وقدّم تعريفات دقيقة للنقطة، والخط، والسطح، مُعرّفاً المادة الصلبة بأنها ذات شكل وحجم ومكان، وقابلة للنقل من مكان لآخر. تحدد حدود هذه المواد الصلبة الأسطح، وهي تفصل أجزاء الفراغ عن بعضها البعض دون امتلاك سماكة، بينما تُعرف حدود هذه الأسطح بالخطوط، سواء كانت مستقيمة أو منحنيات، وتنتهي هذه الخطوط بنقطة. وبناءً على ذلك، فإن المادة الصلبة ثلاثية الأبعاد، والسطح ثنائي البعد، والخط أحادي البعد، والنقطة عديمة الأبعاد. [1]

الهندسة اللاإقليدية: نظرة عامة

يشمل علم الهندسة فرعًا يُعرف بالهندسة اللاإقليدية. ببساطة، تُعرف الهندسة اللاإقليدية بأنها كل ما لا يندرج تحت مظلة الهندسة الإقليدية. وعادةً ما تُستخدم هذه التسمية للإشارة إلى الهندسة الكروية والهندسة الزائدية. [1]

مقارنة الهندسة الإقليدية واللاإقليدية

يكمن الاختلاف الأساسي بين الهندسة الإقليدية واللاإقليدية في كيفية تعامل كل منهما مع الخطوط المتوازية. في الهندسة الإقليدية، بالنسبة لنقطة مستقيمة محددة، يوجد خط واحد فقط يمر عبر هذه النقطة وفي نفس المستوى دون أن يتقاطع مع الخط الأول. أما الهندسة اللاإقليدية، فتدرس الخطوط غير المستقيمة، مثل تلك الموجودة في الهندسة الكروية. [2]

أركان الهندسة الإقليدية

تُعتبر عناصر إقليدس عملاً رياضياً وهندسياً يتألف من ثلاثة عشر كتاباً ألفها إقليدس في الإسكندرية. تُقسم هذه العناصر إلى ثلاثة عشر كتاباً انتشرت دراستها في جميع أنحاء العالم. تتضمن هذه العناصر مجموعة من التعريفات، والمسلمات (البديهيات)، والمُسلّمات، والبراهين الرياضية. [2]

الخصائص المميزة للهندسة الإقليدية

تتميز الهندسة الإقليدية بالعديد من الخصائص، من بينها: دراسة الهندسة المستوية والهندسة الفراغية، وتحديد النقطة والخط والمستوى، ووصف الجسم الصلب بأنه له شكل وحجم ومكان قابل للنقل، ومجموع زوايا المثلث الداخلي يساوي 180 درجة، والخطوط المتوازية لا تتقاطع أبداً، وأقصر مسافة بين نقطتين هي خط مستقيم. [2]

البديهيات الأساسية في الهندسة الإقليدية

تعتمد الهندسة الإقليدية على عدة بديهيات أساسية، منها: الأشياء المتساوية مع نفس الشيء متساوية فيما بينها، وإذا طرحنا متساويين من متساويين، فإن الباقي سيكون متساويًا، والأشياء المتطابقة متساوية، والكل أكبر من الجزء، والأشياء التي هي ضعف نفس الشيء تتساوى، والأشياء التي هي نصف نفس الشيء تتساوى. [2]

أمثلة عملية على الهندسة الإقليدية

من الأمثلة الشائعة على تطبيقات الهندسة الإقليدية الزوايا والدوائر. الزوايا هي انحناء خطين مستقيمين، والدائرة هي شكل مستوٍ جميع نقاطه على مسافة ثابتة (نصف القطر) من مركزها. [2]

تطبيقات الهندسة الإقليدية في الحياة العملية

تُستخدم الهندسة الإقليدية بكثرة في مجال العمارة لبناء مختلف الهياكل والمباني، كما تُعتبر أساس التصميم الهندسي. وتُستخدم أيضاً في عمليات المساحة لتسوية الأراضي. [2]

مسلمات إقليدس الخمس

وضع إقليدس خمس مسلمات أساسية، وهي: [3]

1. يمكن رسم جزء من خط مستقيم يصل بين أي نقطتين.
2. يمكن تمديد أي جزء من خط مستقيم إلى ما لا نهاية في خط مستقيم.
3. بالنظر إلى أي قطعة مستقيمة، يمكن رسم دائرة بنصف قطر ونقطة نهاية واحدة كمركز.
4. جميع الزوايا القائمة متطابقة.
5. إذا رسمنا خطين يتقاطعان مع خط ثالث بحيث يكون مجموع الزوايا الداخلية على جانب واحد أقل من زاويتين قائمتين، فلا بد أن الخطين يتقاطعان على هذا الجانب إذا امتدا بعيدًا بدرجة كافية. (هذه المسلمة تُعرف بالفرضية الموازية).

الجدل حول المسلمة الخامسة

لم يتمكن أحد من إثبات المسلمة الخامسة لإقليدس كنظرية، على الرغم من المحاولات العديدة. استخدم إقليدس نفسه الافتراضات الأربعة الأولى في أول 28 اقتراحًا من عناصره، لكنه اضطر لاستخدام الفرضية الموازية. في عام 1823م، أدرك يانوس بولياي ونيكولاي لوباتشيفسكي إمكانية إنشاء هندسات لا إقليدية بدون الفرضية الموازية. كما اكتشف جاوس وجود هندسات لا إقليدية. [3]