استكشاف عالم الدائرة: خصائص ومميزات

مقدمة عن الدائرة

الدائرة هي شكل هندسي أساسي، وتُعرّف بأنها مجموعة النقاط في المستوى التي تبعد نفس البعد عن نقطة ثابتة معينة تسمى مركز الدائرة. هذا البعد الثابت يُعرف بنصف القطر، وهو المسافة من مركز الدائرة إلى أي نقطة تقع على محيطها. أما قطر الدائرة، فهو أطول وتر فيها ويمر عبر المركز، وهو يساوي ضعف طول نصف القطر.

يمكن التعبير عن العلاقة بين القطر (ق) ونصف القطر (نق) بالصيغة التالية:

ق = 2 نق

سمات الخطوط المتصلة بالدائرة

تتميز الدائرة بعدة خطوط مهمة، لكل منها خصائصه الفريدة:

الوتر

الوتر هو قطعة مستقيمة تصل بين نقطتين على محيط الدائرة. والعمود النازل من مركز الدائرة على الوتر يقسمه إلى نصفين متساويين. من الخصائص الهامة للوتر:

• إذا كانت أوتار الدائرة متساوية في الطول، فإن الأقواس المقابلة لها تكون متساوية أيضًا. على سبيل المثال، إذا كان أ ب و جـ د وترين في دائرة، وكان أ ب = جـ د، فإن: القوس أ ب = القوس جـ د
• عندما تتوازى الأوتار، تكون الأقواس المحصورة بينها متساوية. فإذا كان أ ب يوازي جـ د، فإن: القوس أ د = القوس ب جـ.
• إذا تقاطع وتران (أ ب و جـ د) عند نقطة (و)، فإن حاصل ضرب أجزاء الوتر الأول يساوي حاصل ضرب أجزاء الوتر الثاني: أو × وب = جـ و × ود.
• الأوتار المتساوية في الطول تكون على نفس المسافة من مركز الدائرة.
• كلما زاد طول الوتر، اقترب من مركز الدائرة.
• الأوتار المتساوية تقابل زوايا مركزية متساوية، والعكس صحيح.

المماس

المماس هو خط مستقيم يلامس الدائرة في نقطة واحدة فقط. ومن خصائص المماس:

• المماس لا يقطع الدائرة، بل يلامسها فقط.
• نقطة التماس تكون عمودية على نصف قطر الدائرة.
• أي مماسين يتم رسمهما من نفس النقطة خارج الدائرة يكونان متساويين في الطول.
• الزاوية المحصورة بين المماس والوتر تساوي الزاوية المحيطية المقابلة لذلك الوتر.

ملامح الزوايا في الدائرة

هناك نوعان رئيسيان من الزوايا في الدائرة:

الزاوية المحيطية

الزاوية المحيطية هي الزاوية التي تتشكل من التقاء وترين على محيط الدائرة. خصائصها:

• الزوايا المرسومة على نفس القوس تكون متساوية في القياس.
• الزاوية المحيطية المرسومة على نصف الدائرة تساوي 90 درجة.
• الزوايا المحيطية المقابلة لنفس الوتر وعلى جهتين متقابلتين منه يكون مجموعهما 180 درجة.
• كلما زاد قياس الزاوية المحيطية، زاد طول القوس المقابل لها.
• الزوايا المقابلة لنفس القوس تكون متساوية في القياس.

الزاوية المركزية

الزاوية المركزية هي الزاوية التي يقع رأسها على مركز الدائرة، وتقع نهايات أضلاعها على محيط الدائرة. خصائصها:

• قياس الزاوية المركزية يساوي ضعف قياس الزاوية المحيطية المرسومة على نفس القوس.
• الأقواس التي تكون زوايا مركزية متساوية تكون متساوية أيضًا.
• كلما زاد قياس الزاوية المركزية، زاد طول القوس المقابل لها.
• إذا كانت الزاوية المركزية = 180 درجة = π، فإن القوس المتشكل يمثل نصف محيط الدائرة.
• إذا كانت الزاوية المركزية = 360 درجة = 2π، فإن القوس المتشكل يمثل محيط الدائرة كاملاً.
• الزوايا المقابلة لنفس القوس تكون متساوية في القياس.

صفات أساسية للدائرة

تشمل الصفات الرئيسية للدائرة ما يلي:

• تتطابق الدوائر إذا كان نصف قطرها متساويًا.
• قطر الدائرة هو أطول وتر فيها.
• تقل المسافة العمودية بين مركز الدائرة والوتر كلما زاد طول الوتر.
• عند رسم مماسين عند نهايتي قطر الدائرة، فإنهما يكونان متوازيين.
• المثلث الذي يتشكل من نصفي قطر الدائرة والوتر الواصل بين طرفيهما يكون مثلثًا متساوي الساقين.
• عند قسمة محيط أي دائرة على قطرها، يكون الناتج دائمًا قيمة ثابتة تسمى باي (π)، وتساوي تقريبًا 3.142.

نماذج تطبيقية على صفات الدائرة

المثال الأول:

تقاطع وتران أ ب، جـ د عند النقطة (و)، حيثُ يُقسّم كل منهما الآخر إلى جُزئين، وفي الوتر الأول كان طول أو= 4 وحدات، وطول وب= 6 وحدات، بينما في الوتر الثاني كان طول جـ و=3 وحدات، فجد طول ود؟

الحل:

من خاصيّة تقاطع الأوتار ينتج أنّ: ناتج ضرب أجزاء الوتر الأول يساوي ناتج ضرب أجزاء الوتر الثاني ببعضها؛ أي أن: ود×3=4×6، وبقسمة الطرفين على 3 ينتج أنّ: ود=8 وحدات.

المثال الثاني:

دائرة مركزها م فيها المماس دأ يمُسّ الدائرة في النقطة أ ويلتقي مع الوتر أب في النقطة أ، فإذا كان قياس الزاوية ب أ د= 50°، فما قياس الزاوية أ م ب؟

الحل:

وفق الخاصية: عند التقاء المماس دأ الذي يمُسّ الدائرة في النقطة أ مع الوتر أب فإنّ الزاوية المحصورة بينهما تساوي الزاوية المُحيطيّة أجـ ب المقابلة للوتر أب، وعليه فإن قياس الزاوية المحيطية المقابلة للوتر أب=50°.

وفق الخاصية: قياس الزاوية المركزيّة يساوي ضعف قياس الزاوية المُحيطيّة المرسومة على نفس القوس؛ فإن الزاوية المركزية أ م ب المقابلة للوتر (أب)= 2×الزاوية المحيطية المرسومة على الوتر (أب)، لينتج أن: الزاوية (أ م ب)= 2×50°= 100°.

المثال الثالث:

زاوية محيطيّة وزاوية مركزيّة تقابلان نفس القوس، فإذا كان قياس الزاوية المحيطيّة= 62°، فما قياس الزاوية المركزيّة؟

الحل:

بما أنّ قياس الزاوية المركزيّة = ضعف قياس الزاوية المُحيطيّة المرسومة على نفس القوس ينتج أنّ: الزاوية المركزيّة =2×62°= 124°.

المثال الرابع:

دائرة مركزها النقطة م، فيها الوتران أب، أجـ، وقياس الزاوية أ م ب= 90°، وقياس الزاوية أم جـ= 110°، فما قياس الزاوية ب أ جـ؟

الحل:

بما أنّ الزاوية أ م ب + الزاوية أ م جـ + الزاوية جـ م ب= 360°، ينتج أن 90°+ 110°+الزاوية جـ م ب= 360°، ومنه الزاوية جـ م ب= 160°.

وبما أنّ الزاوية جـ م ب= 2×الزاوية ب أ جـ، وفق الخاصية قياس الزاوية المركزيّة يساوي ضعف قياس الزاوية المُحيطيّة المرسومة على نفس القوس؛ لينتج أن 160°=2× الزاوية ب أ جـ، وبقسمة الطرفين على 2 ينتج أنّ: الزاوية ب أ جـ= 80°.

المثال الخامس:

دائرة مركزها النقطة م، فيها الوتران أب، أجـ، وقياس الزاوية ب أ جـ = 50°، فما قياس الزاوية م ب جـ؟

الحل:

الزاوية ب م جـ = 2× الزاوية ب أ جـ، وفق الخاصية قياس الزاوية المركزيّة يساوي ضعف قياس الزاوية المُحيطيّة المرسومة على نفس القوس؛ لينتج منه أن الزاوية ب م جـ = 2×50°= 100°.

في المثلث المتساوي الساقين م ب جـ ، م ب = م جـ؛ لأنهما يمثلان أنصاف أقطار في الدائرة، وعليه فإنّ الزاوية م ب جـ = الزاوية م جـ ب.

وبما أنّ مجموع زوايا المثلث يساوي 180°، ينتج أنّ: م ب جـ + الزاوية م جـ ب + الزاوية ب م ج =180°، ومنه: م ب جـ + الزاوية م جـ ب + 100°= 180°، وعليه فإنّ: م ب جـ + الزاوية م جـ ب=80°، بالتالي: 2× الزاوية م ب جـ = 80°، ومنه الزاوية م ب جـ = 40°.

المثال السادس:

دائرة مركزها و، فيها الأوتار: أب، ب جـ، والنقطة د ناتجة عن تقاطع نصف القطر و جـ مع الوتر أ ب وهو عمودي عليه، والزاوية و أ ب =20°، الزاوية و جـ ب = 55°، فما قياس الزاوية ب و جـ والزاوية أ و جـ؟

الحل:

نفرض أنّ الزاوية ب و جـ = س، والزاوية أ و جـ = ص

الزاوية و ب أ = الزاوية و أ ب = 20°؛ لأنّهما تمثلان زوايا القاعدة للمثلث متساوي الساقين (أوب).

من المثلث و أ د، والمثلث و ب د، و أ = وب لأنهما أنصاف أقطار في الدائرة، ود = ود لأنه ضلع مُشترك بين المثلثين، الزاوية و ب أ = الزاوية و أ ب = 20°، والزاوية ودب=الزاوية ودأ؛ لأن نصف القطر عمودي على الوتر أب، ومنه المثلث و أ د يطابق المثلث و ب د، ومنه ينتج أنّ: س = ص.

في المثلث و د أ يكون مجموع الزاوية أ و د + الزاوية و أ د + الزاوية و د أ = 180°، ومنه: ص + 90° + 20°= 180°، بالتالي: ص = 70°، ومنه: س = ص = 70°.

المثال السابع:

تقاطع وتران أب، جـ د عند النقطة (و)، حيثُ يُقسّم كل منهما الآخر إلى جُزئين، وفي الوتر الأول كان طول أو= (س+4) وحدات، وطول وب= 10 وحدات، بينما في الوتر الثاني كان طول جـ و=(س+1) وحدات، وطول ود=15 وحدة؟

الحل:

من خاصيّة تقاطع الأوتار ينتج أنّ: ناتج ضرب أجزاء الوتر الأول يساوي ناتج ضرب أجزاء الوتر الثاني ببعضها؛ أي أن: 10×(س+4)=(15)×(س+1)، وبتبسيط المعادلة ينتج أن: 10س+40=15س+15، 5س=25، وبقسمة الطرفين على 5 ينتج أنّ: س=5 وحدات.

المثال الثامن:

دائرة مركزها م فيها المماس دأ يمُسّ الدائرة في النقطة أ ويلتقي مع الوتر أب في النقطة أ، فإذا كان قياس الزاوية ب أ د= 40°، والزاوية ب أ جـ= 65°، علماً أن جـ نقطة تقع على محيط الدائرة، في الجهة المقابلة للوتر أب، فما قياس الزاوية أ ب جـ؟

الحل:

وفق الخاصية: عند التقاء المماس دأ الذي يمُسّ الدائرة في النقطة أ مع الوتر أب فإنّ الزاوية المحصورة بينهما تساوي الزاوية المُحيطيّة أجـ ب المقابلة للوتر أب، وعليه فإن قياس الزاوية المحيطية المقابلة للوتر أب، وهي (أجـ ب)=40°.

في المثلث أب جـ الزاوية ب أ جـ معلومة وتساوي 65°، والزاوية أجـ ب تساوي 40°، وبما أنمجموع زوايا المثلثيساوي 180°؛ فإن الزاوية أب جـ=180-65-40=75°.

المثال التاسع:

إذا كان هناك دائرة بمركزها م، لديها تماس ع ل بالنقطة ع، وأن الزاوية م ل ط = 120 درجة، حيث ط نقطة تقع على امتداد خط التماس ع ل، جد قياس الزاوية ل م ع ؟

الحل:

من خصائص مماس الدائرة، أن تقاطعه مع نصف قطر الدائرة يشكل زاوية 90 درجة أي تشكل مثلث قائم الزاوية لذا يُمكن استخدام خصائص الزوايا في مثلث قائم الزاوية لإيجاد قيمة الزاوية ع م ل.

الزاوية م ل ط زاوية خارجية تقع على خط مستقيم، وتعتبر الزاوية م ل ع متممة لها، أي أنّ:

الزاوية م ل ط + الزاوية م ل ع = 180

120 + الزاوية م ل ع = 180

الزاوية م ل ع أحد زوايا المثلث قائم الزاوية = 60

مجموع زوايا المثلث م ع ل القائم في ع يساوي 180، أي:

الزاوية م ل ع + الزاوية م ع ل + الزاوية ل م ع = 180

60 + 90 + الزاوية ل م ع = 180

الزاوية ل م ع = 180 – 60 – 90

إذًا الزاوية ل م ع = 30

المثال العاشر:

إذا كان م مركز الدائرة، ولديها مماس ع ل بنقطة التماس ع، علمًا بأن ل نقطة خارجية عن الدائرة، ولديها مماس آخر ل ط من نفس النقطة ل في نقطة التماس ط، وكان طول المماس ع ل = 8 سم، وطول نصف قطر الدائرة م ع 6 سم، فكم طول الخط م ل؟

الحل:

من خصائص المماسات في الدائرة تساوي أطول المماسات المرسومة من نفس النقطة من خارج الدائرة ع ل = ط ل = 8 سم.

وبما أن الزاوية قائمة في نقطة التماس ع و ط، فتشكل مثلث قائم الزاوية، فيه طول م ع = 6 سم، وطول ع ل = 8 سم.

تطبيق قاعدة فيثاغورس لأطوال أضلاع المثلث قائم الزاوية (ل م)²= (م ع)²+ (ع ل)²

(ل م)²= ( 6)²+ (8)²

(ل م) = (36 + 64 )^(1/2)

إذًا طول ل م = 10 سم.

المثال الحادي عشر:

إذا كان مركز الدائرة م، ولديها مماس ع ل بنقطة التماس ع، علمًا بأن ل نقطة خارجية عن الدائرة وطول ع ل = 8سنتميتر، وطول م ع= 6 سنتميتر، وكان وتر الدائرة ج د يلتقي بخط يصل بينه وبين مركز الدائرة م هـ = 3 سم وينصفه، ما هو محيط الشكل م ل ع هـ المتشكل؟

الحل:

من خصائص مماس الدائرة تشكل زاوية قائمة في نقطة التماس ع، والمثلث القائم الزاوية م ع ل.

بتطبيق قاعدة فيثاغورس لإيجاد أطوال المثلث قائم الزاوية (م ل)²= (ل ع)²+ ( م ع)²

(م ل)²= 8²+ 6²

م ل = 10 سم

ومن خصائص الدائرة بأن الخط الواصل من المركز إلى الوتر ينصفها ويشكل زاوية قائمة، فإنّ المثلث م هـ ع قائم الزاوية في هـ.

بتطبيق قاعدة فيثاغورس لإيجاد أطوال المثلث قائم الزاوية (م ع)²= (م هـ)²+ ( هـ ع)²

6²= 3²+ هـ ع²

هـ ع = 5.2 سم.

بمعرفة أطوال الشكل م ل ع هـ، حيث؛ م ل = 10سم، هـ ع = 5.2 سم، ل ع= 8 سم، م هـ =3 سم، فإن محيط أي شكل هندسي يساوي مجموع أطوال أضلاعه.

محيط الشكل م ل ع هـ = م ل + هـ ع + ل ع + م هـ

محيط الشكل م ل ع هـ = 10 + 5.2 + 8 + 3

محيط الشكل م ل ع هـ = 26.2 سم.

المثال الثاني عشر:

إذا كان م مركز الدائرة، ولديها مماسين من نقطة خارج الدائرة ل، الأول ع ل= 8 سم، والثاني ط ل، إذا علمت أن الزاوية م ع ط = 30، جد قياس الزاوية م ل ط؟

الحل:

من خصائص المماس في الدائرة أن يشكل زاوية قائمة في نقطة التماس ع والأخرى ط.

إذًا الزاوية م ع ل قائمة، وعليه: الزاوية م ع ط + الزاوية ل ع ط = 90

30 + الزاوية ل ع ط = 90

الزاوية ل ع ط= 60.

ومن خصائص المماس للدائرة تساوي أطوال المماسين اللذين يلتقيان في نقطة واحدة خارجة الدائرة، ط ل = ع ل ، فيكن المثلث ط ل ع متساوي الساقين.

بما أن المثلث متساوي الساقين أي أن الزاوية ل ع ط = الزاوية ل ط ع = 60.

مجموع زوايا المثلث = 180، وعليه؛ الزاوية ل ع ط + الزاوية ل ط ع + الزاوية ط ل ع = 180

60 + 60 + الزاوية ط ل ع = 180

الزاوية ط ل ع = 60

ومن خصائص الدائرة، أنّ الخط الواصل بين مركز الدائرة والنقطة الخارجة من الدائرة والمشكّلة للمماسين تُنصّف الزاوية المحصورة بين المماسين، وعليه فإنّ:

الزاوية م ل ط = 60 / 2

الزاوية م ل ط =30.