استكشاف عالم الأشكال: تعريف وخصائص المخروط

ما هو الشكل المخروطي؟

يُعرف الشكل المخروطي بأنه مجسم ثلاثي الأبعاد، يتميز بقاعدة مستوية غالباً ما تكون دائرية، ثم يضيق تدريجياً باتجاه نقطة واحدة تسمى رأس المخروط. يمكن تصور المخروط على أنه يتكون من خطوط مستقيمة تربط رأس المخروط بكل نقطة على حافة القاعدة الدائرية. وعلى الرغم من التشابه الظاهري بين المخروط والهرم، إلا أن المقطع العرضي للمخروط يكون دائرياً، بينما يكون المقطع العرضي للهرم مثلثاً في الغالب.

أصناف الأشكال المخروطية

تتنوع الأشكال المخروطية، ويمكن تصنيفها إلى نوعين رئيسيين:

• المخروط الدائري القائم: هو المخروط الذي يقع فيه رأس المخروط مباشرة فوق مركز القاعدة، أي على استقامة واحدة معه. يتميز بوجود محور عمودي يربط رأس المخروط بمركز القاعدة، ويشكل زاوية قائمة مع القاعدة.
• المخروط المائل: في هذا النوع، لا يقع رأس المخروط فوق مركز القاعدة مباشرة، بل يكون مائلاً. بالتالي، فإن المحور الذي يربط الرأس بالمركز لا يشكل زاوية قائمة مع القاعدة.

ملحوظة: يمكن تطبيق قوانين حساب حجم المخروط الدائري القائم على المخروط المائل أيضاً، بينما لا يمكن تطبيق قوانين حساب مساحة المخروط الدائري القائم على المخروط المائل.

السمات المميزة للمخروط

يتميز المخروط بعدة خصائص أساسية، منها:

• يمتلك المخروط رأساً واحداً، ووجهاً واحداً يمثل القاعدة الدائرية. ولا يحتوي على حواف أو زوايا.
• يمكن تحديد عرض المخروط عن طريق قياس قطر القاعدة الدائرية.
• يمكن وصف المخروط باستخدام ثلاثة أبعاد رئيسية:
  • الارتفاع: هو المسافة العمودية بين رأس المخروط ومركز القاعدة.
  • نصف القطر: يمثل نصف قطر القاعدة الدائرية.
  • الارتفاع المائل: هو المسافة بين رأس المخروط وأي نقطة على محيط القاعدة الدائرية مروراً بالسطح المنحني للمخروط.

قواعد حساب المخروط

يمكن حساب المساحة والحجم لأي شكل مخروطي باستخدام القوانين التالية:

فهم الشكل المخروطي الناقص

المخروط الناقص هو الشكل الذي ينتج عن قطع الجزء العلوي من المخروط بمستوى موازٍ للقاعدة، مما يؤدي إلى إزالة رأس المخروط.

يمكن وصف هذا المخروط باستخدام الأبعاد التالية:

• الارتفاع: المسافة العمودية بين منتصفي القاعدة العلوية والقاعدة السفلية.
• نصف القطر: نصف قطر كل من القاعدة العلوية والقاعدة السفلية (عادة ما يكونان مختلفين).
• الارتفاع الجانبي: أقصر مسافة ممكنة بين حافتي القاعدة العلوية والسفلية.

قواعد المخروط الناقص

فيما يلي بعض القوانين الخاصة بالمخروط الناقص:

• الارتفاع الجانبي (ل): يمكن إيجاده باستخدام نظرية فيثاغورس: ل= (ع²+(نق1-نق2)²)√.
• المساحة الجانبية للمخروط الناقص: المساحة الجانبية للمخورط الناقص= π×(نق1+نق2)×ل
• مساحة المخروط الناقص: مساحة المخروط الناقص= π×(ل×(نق1+نق2) + (نق1)²+ (نق2)²).
• حجم المخروط الناقص: حجم المخروط الناقص= (1/3)×π×ع×((نق1)²+(نق2)²+ (نق1×نق2)).

حيث:

• نق1: نصف قطر القاعدة السفلية.
• نق2: نصف قطر القاعدة العلوية.
• ل: الارتفاع الجانبي للمخروط الناقص.
• π: الثابت باي.
• ع: ارتفاع المخروط الناقص.

تطبيقات وأمثلة متنوعة

مثال 1: إذا كان حجم مخروط دائري قائم 9856سم3، وقطر قاعدته (ق) هو 28سم، فما هو ارتفاعه (ع)، وارتفاعه الجانبي (ل)، ومساحته الجانبية؟

الحل:

حجم المخروط = (1/3)×π×نق²×ع، ومنه يمكن إيجاد الارتفاع كما يلي:

بما أن القطر = 28سم، فإن نصف القطر (نق) = القطر/2 = 14سم.

بالتعويض في قانون الحجم فإن: 9856 = (1/3)×22/7ײ14×ع، ومنه:

الارتفاع = (9856×3×7)/(22×14×14)، ومنه: الارتفاع = 48سم.

الارتفاع الجانبي = (نق²+ع²)√، وبالتالي: ل = 14² + 48²√= 50سم.

المساحة الجانبية = π×نق×ل، وبالتالي: المساحة الجانبية = 22/7 × 14 × 50= 2200سم².

مثال 2: مخروط ناقص قطر قاعدته العلوية 2سم، وقطر قاعدته السفلية 6سم، وارتفاعه 10سم، فما هي قيمة كلٍّ من: مساحته الجانبية، ومساحته الكلية، وحجمه؟

الحل:

لإيجاد كل من المساحة الجانبية، والمساحة الكلية فإنه يجب أولا إيجاد الارتفاع الجانبي (ل)، وذلك كما يلي:

حساب الارتفاع الجانبي، وذلك كما يلي: ل=(ع²+(نق1-نق2))²√= 10² + (6-2)²√ = 10.77سم.

المساحة الجانبية للمخروط الناقص = π×(نق1+نق2)×ل، وبالتالي: المساحة الجانبية للمخروط الناقص= 3.14×(6+2)× 10.77= 270.69 سم².

المساحة الكلية = المساحة الجانبية + π×(نق1)² + π×(نق2)²، وبالتالي: المساحة الكلية = 270.69 + (3.14×6²+3.14×2²) = 396.35 سم².

حجم المخروط = (1/3)×π×ع×((نق1)²+ (نق2)²+ (نق1×نق2))، وبالتالي: حجم المخروط = (1/3)×3.14×10×(6²+2²+(6×2)) = 544 سم³.

مثال 3: ما هي المساحة الكلية للمخروط الدائري الذي نصف قطر قاعدته هو 6سم، وارتفاعه الجانبي (ل) هو 10سم؟

الحل:

المساحة الكلية = المساحة الجانبية + مساحة القاعدتين، وبالتالي: المساحة الكلية = π×نق×(ل+نق)= 3.14×6×(10+6) = 301.59سم².

مثال 4: ما هو حجم المخروط الذي ارتفاعه هو 15م، ونصف قطره هو 8م؟

الحل:

حجم المخروط = (1/3)×π×نق²×ع، وبالتالي: حجم المخروط = (1/3)×3.14ײ8×15 = 1005م³.

مثال 5: ما هو حجم المخروط القائم الذي قطره 6سم، وارتفاعه 5سم؟

الحل:

حجم المخروط = (1/3)×مساحة القاعدة×ع ويساوي (1/3)× π×نق²×ع، وبالتالي: حجم المخروط = (1/3)×3.14×3²×5؛ وذلك لأن نصف القطر يساوي القطر/2، ومنه: حجم المخروط = 47.1 سم³.

مثال 6: مخروط دائري نصف قطره هو 4م، وارتفاعه هو 18م، يُراد تعبئته بالماء، فكم من الوقت يحتاج حتى يمتلئ المخروط بالكامل، علماً بأن الماء يملأ المخروط بمعدل 3 متر³ لكل 25 ثانية؟

الحل:

كمية الماء التي تملأ المخروط بالكامل = حجم ذلك المخروط، وتساوي (1/3)×π×نق²×ع، وبالتالي فإن حجم المخروط يساوي: حجم المخروط = (1/3)×3.14×4²×18= 301.44م³، وهي كمية الماء التي تملؤه بالكامل.

الوقت الذي نحتاجه لتعبئة المخروط = حجم المخروط/معدل تعبئته = 301.44م³/ (3م³ /25 ثانية)، وبالتالي: الوقت اللازم لملء المخروط = 2512 ثانية = 41.9 دقيقة.

مثال 7: إذا كانت المساحة الجانبية لمخروط دائري تساوي ضعف مساحة القاعدة، فما هي المساحة الكلية للمخروط علماً أن ارتفاعه هو 9 سم؟

الحل:

المساحة الكلية للمخروط = π×نق×(ل+نق)، ولحساب (ل) يجب اتباع الخطوات الآتية:

المساحة الجانبية = 2×مساحة القاعدة، وفق معطيات السؤال، وبالتالي: π×نق×ل = 2×π×نق²، وبقسمة الطرفين على (π×نق) ينتج أن: ل=2×نق.

ارتفاع المخروط يصنع مثلثاً قائم الوتر فيه هو الارتفاع الجانبي (ل)، ونصف القطر (نق) والارتفاع (ع) هما ضلعا القائمة، وبالتالي: نق²+ع² = ل²، وبما أن ع = 9، و ل = 2نق، فإن: نق² +81 = 4نق²، ومنه: 81 = 3نق²، وبقسمة الطرفين على (3) ينتج أن: نق² = 27، ومنه: نق= 27√ سم، و ل= 2×نق = 27√2 سم.

التعويض في القانون: المساحة الكلية للمخروط = π×نق×(ل+نق) = 3.14×27√× (27√+27√2) = 254.34 سم².

مثال 8: إذا كانت المساحة الكلية لمخروط دائري 24π سم²، ونصف قطره هو 3سم، فما هو ارتفاعه (ع)؟

الحل:

مساحة المخروط الكلية = مساحة القاعدة + المساحة الجانبية = π×نق×(ل+نق)، وبالتالي: مساحة المخروط = 24π=(3+ل)×3×π، وبقسمة الطرفين على (π×3)، ينتج أن: 8=ل+3، ومنه: ل=5سم.

التعويض في القانون: ل= (نق²+ع²)√، لينتج أن: 5= (3²+ع²)√، وبتربيع الطرفين ينتج أن: 25=9+ع²، وبطرح 9 من الطرفين ينتج أن: 16= ع²، وبأخذ الجذر التربيعي للطرفين ينتج أن: الارتفاع = 4سم.

مثال 9: مخروطان قطر الأول هو 6 سم، وارتفاعه هو 10سم، وقطر الثاني هو 3سم، وارتفاعه هو 8سم، فإذا تمت تعبئة المخروط الصغير بالرمل، ثم تفريغ الرمل داخل المخروط الكبير، فكم هو الحجم المتبقي داخل المخروط الكبير؟

الحل:

كمية الرمل داخل المخروط تعادل حجم المخروط عند ملئه تماماً به، ويمكن حساب حجم المخروطين الكبير والصغير من القانون: حجم المخروط = (1/3)×π×نق²×ع، كما يلي:

حجم المخروط الكبير = (1/3)×π×3²×10؛ وذلك لأن نصف القطر= القطر/2، ومنه: حجم المخروط الكبير = π30 سم³.

حجم المخروط الصغير= (1/3)×π × ²1.5×8، ويساوي 6π سم³، وهي كمية الرمل الموجودة لدينا.

حجم الفراغ المتبقي داخل المخروط الكبير = حجم المخروط الكبير – حجم المخروط الصغير= 30π – π6، ويساوي π24 سم³.

مثال 10: مخروط دائري قائم ارتفاعه 5سم، ونصف قطره يساوي ضعفي ارتفاعه، فما هو حجمه؟

الحل:

حجم المخروط = (1/3)×π×نق²×ع، ولحسابه يجب إيجاد قيمة نق، وذلك كما يلي:

نصف القطر = 2×الارتفاع= 2×5= 10سم.

بالتعويض في القانون فإن حجم المخروط = (1/3)×3.14×5×10²= 523 سم ³.

مثال 11: مخروط دائري مائل قطره هو 12سم، وارتفاعه هو 15سم، فما هو حجمه؟

الحل:

كما تمت الإشارة سابقاً فإن قانون حجم المخروط المائل هو نفسه قانون حجم المخروط القائم، وبالتالي فإنه يمكن إيجاد الحجم كما يلي:

حجم المخروط = (1/3)×π×نق²×ع، ولحساب الحجم فإننا نحتاج إلى نصف القطر، ونصف القطر = القطر/2، ويساوي 6سم.

بالتعويض في القانون: حجم المخروط المائل = (1/3)×3.14×6²×15 = 565.2 سم³.