استكشاف الأرقام التخيلية: نظرة متعمقة

لمحة عامة عن الأرقام التخيلية

يمكننا تعريف الأرقام التخيلية (بالإنجليزية: Complex Number) على أنها أرقام تتألف من جزأين: جزء حقيقي وجزء تخيلي (بالإنجليزية: Imaginary Number). الأرقام التخيلية هي التي ينتج عنها قيمة سالبة عند تربيعها، وهذا يميزها عن الأرقام الحقيقية التي يكون مربعها دائماً موجباً أو صفراً. فمثلاً، مربع أي رقم حقيقي موجب يعطي نتيجة موجبة، ومربع أي رقم حقيقي سالب يعطي أيضاً نتيجة موجبة؛ مثال: (-2)² = 4 لأن -2 × -2 = 4.

عادةً ما تتضمن الأرقام التخيلية الرمز “i” الذي يمثل الجذر التربيعي للعدد (-1)، أي أن: i = √(-1). أمثلة على الأرقام التخيلية: (3i)، (1.04i)، (4/3i)، (-2.8i)، (1998i).

كما ذكرنا سابقاً، الأرقام التخيلية تتكون من جزء حقيقي وجزء تخيلي. أمثلة على ذلك: (3 + i9)، (-2 + iπ)، (0.8 – 2.2i)، (√2 + i/2). لاحظ أن أي جزء من الرقم التخيلي قد يكون صفراً، مما يعني أن الأرقام الحقيقية والأرقام التخيلية هي أيضاً أرقام تخيلية. الأرقام الحقيقية هي أرقام تخيلية يكون الجزء التخيلي فيها صفراً، بينما الأرقام التخيلية هي أرقام تخيلية يكون الجزء الحقيقي فيها صفراً.

لتوضيح الصورة أكثر، إليك مثالاً يوضح الأرقام التخيلية، ويحدد الجزء الحقيقي والجزء التخيلي فيها:

من المهم الإشارة إلى أن مصطلح “العدد التخيلي” لا يعني أنه معقد بالضرورة، بل يشير إلى أنه يتضمن نوعين من الأرقام: الحقيقية والتخيلية. الجدول التالي يقدم المزيد من الأمثلة على الأرقام التخيلية وصيغتها القياسية:

لماذا ندرس الأرقام التخيلية وخصائصها؟

للأرقام التخيلية تطبيقات واسعة في الحياة العملية، فهي تستخدم بشكل كبير في الهندسة الكهربائية وميكانيكا الكم. كما أن فهم الأرقام التخيلية يمكننا من حل أي معادلة متعددة الحدود بغض النظر عن نوعها. على سبيل المثال، المعادلة التربيعية التالية: س² – 2س + 5 = 0 ليس لها حلول في الأرقام الحقيقية لأن مميزها سالب، ولكن باستخدام الأرقام التخيلية، نجد أن لهذه المعادلة حلين، وهما: 1 + 2i و 1 – 2i.

تجدر الإشارة إلى أن للأرقام التخيلية العديد من الخصائص الهامة:

• i = √(-1).
• i² = (√(-1))² = -1.
• i³ = i × i² = i × -1 = -i.
• i⁴ = i² × i² = -1 × -1 = 1.

إجراء العمليات الحسابية على الأرقام التخيلية

يمكن إجراء العديد من العمليات الحسابية على الأرقام التخيلية. فيما يلي شرح لكل منها:

جمع الأرقام التخيلية:

عند جمع رقمين تخيليين، يجب أولاً جمع الجزء التخيلي مع الجزء التخيلي، ثم جمع الجزء الحقيقي مع الجزء الحقيقي. المثال التالي يوضح ذلك:

مثال: جمع الرقمين التخيليين (4 + 3i) و (2 + 2i) يتم كالتالي:
(4 + 2) + (3i + 2i) = 6 + 5i.

ضرب الأرقام التخيلية:

عملية ضرب الأرقام التخيلية تشبه إلى حد ما عملية ضرب الاقترانات متعددة الحدود. نتيجة ضرب رقم تخيلي برقم تخيلي آخر تعطي دائماً رقماً حقيقياً. يمكن إيجاد حاصل ضرب (أ + بi) × (جـ + دi) كالتالي:

أ × (جـ + دi) + بi × (جـ + دi) = (أ × جـ) + (أ × د) × i + (ب × جـ) × i + (ب × د) × i²
= (أ × جـ) + ((أ × د) + (ب × جـ)) i + (ب × د) × (-1)

وبالتالي، فإن حاصل ضرب (أ + بi) × (جـ + دi) يساوي (أ × جـ – ب × د) + (أ × د + ب × جـ) × i.

مثال: ما هو حاصل ضرب (3 + 2i) في (4 – 2i)؟

الحل: باستخدام القانون أعلاه، يمكن حل السؤال بخطوة واحدة كالتالي:
أ = 3، ب = 2، جـ = 4، د = -2.
وبالتالي، بتطبيق القانون، فإن حاصل الضرب يساوي: ((3 × 4) – (2 × -2)) + ((3 × -2) + (2 × 4))i = 16 + 2i.

قسمة الأرقام التخيلية:

لقسمة الأرقام التخيلية، يجب أولاً الحصول على العدد المرافق للرقم التخيلي، والذي يعرف بأنه نفس الرقم التخيلي مع عكس الإشارة في الوسط. مثلاً، العدد المرافق للعدد (أ + بi) هو (أ – بi). هذا يعني أن الجزء الذي يمثل العدد الحقيقي يبقى كما هو، بينما الجزء الذي يمثل العدد التخيلي هو الذي تتغير إشارته. عادةً ما يتم وضع إشارة (ــــــ) فوق العدد المرافق لتمييزه عن العدد التخيلي.

باستخدام العدد المرافق، يمكن قسمة الأرقام التخيلية عن طريق كتابة الرقمين التخيليين المطلوب قسمتهما على بعضهما على شكل كسر مكون من بسط ومقام، ثم ضرب كل من البسط والمقام بمرافق العدد الموجود في المقام (المقسوم عليه). المثال التالي يوضح ذلك:

مثال: ما هو ناتج قسمة 2 + 3i على 4 – 5i؟

الحل: بضرب البسط والمقام بالعدد (4 + 5i) وتجميع الحدود، ينتج أن ناتج عملية القسمة هذه يساوي (-7 + 22i) / 41، ويمكن كتابة هذا العدد على صورة: أ + بi كالتالي: (-7/41) + (22/41) i.

التعبير الهندسي عن الأعداد التخيلية

يمكن تمثيل الأعداد التخيلية عن طريق رسمها على المستوى الإحداثي البياني ذي البعدين، أي باستخدام المحورين السيني والصادي. يتم تمثيل الجزء المتعلق بالعدد التخيلي على المحور الصادي (المحور العمودي)، والجزء المتعلق بالعدد الحقيقي على المحور السيني (المحور الأفقي)، لتتشكل لدينا مجموعة من النقاط في المستوى، وكل نقطة تشير إلى عدد تخيلي معين.

نماذج وتمارين حول الأرقام التخيلية

المثال الأول: ما هو الجزء الذي يمثل العدد التخيلي، والجزء الذي يمثل العدد الحقيقي في العدد التخيلي الآتي: 14 – i19؟

الحل:

• الجزء الذي يمثل العدد التخيلي هو -19.
• الجزء الذي يمثل العدد الحقيقي هو 14.

المثال الثاني: ما هو ناتج ضرب العددين 3i في 4i؟

الحل:

من المعروف أن قيمة i² تساوي -1.

وبالتالي، بتعويض قيمتها في المسألة السابقة، ينتج ما يلي: (3 × 4) × i² = 12 × -1 = -12.

المثال الثالث: اكتب كلاً من القيم الآتية باستخدام رمز العدد التخيلي (i): أ) √(-1) ب) √(-9) ؟

الحل:

بما أن √(-1) يساوي i فإن:

• أ) √(-1) تساوي i.
• ب) √(-9) تساوي √(−1) × √(9) = 3i.

المثال الرابع: ما هو ناتج العدد التخيلي الآتي: i+ i² + i³+ i⁴؟

الحل:

بما أن i² تساوي -1، و i⁴ تساوي +1، و i³ تساوي -i.

فإنه وبتعويض هذه القيم في المسألة السابقة ينتج أنّ: i-1-i+1 يساوي 0.

المثال الخامس: إذا كانت س = 1+2i، فما هي قيمة س³+2س²+4س+25؟

الحل:

• س³ تساوي (1+2i)³ يساوي -11-2i.
• 2س² يساوي 2 × (1+2i)² يساوي 2 × (−3 + 4i) يساوي -6+8i.
• 4س يساوي 4 × (1+2i) يساوي 4+8i.

بتجميع ما سبق ينتج أنّ: (−11−2i) + (−6+8i) + (4+8i) + 25 ويساوي 12+14i.

المثال السادس: ما هو ناتج جمع العددين الآتيين (3+2i)، و (1+7i) ؟

الحل:

يتم جمع الجزأين اللذين يمثلان العددين الحقيقيين مع بعضهما، والجزأين اللذين يمثلان العددين التخيليين مع بعضهما، وذلك كما يلي:

(3+1)+ (2+7)i، وهذا يساوي 4 + 9i .

المثال السابع: ما هو ناتج جمع الأعداد التخيلية الآتية: أ) (-4+7i ) و (5-10i) ب) (4+12i) و -(3-15i ) جـ) 5i و -(-9 + i)؟

الحل:

يتم جمع الجزأين اللذين يمثلان العددين الحقيقيين مع بعضهما، والجزأين اللذين يمثلان العددين التخيليين مع بعضهما، لينتج ما يلي:

• أ) (5-4) + (-10+7)i، ويساوي 1 – 3i
• ب) (4-3) + (12+15)i، ويساوي 1 + 27i.
• جـ) (9+0) + (5-1)i، ويساوي 9 + 4i.

المثال الثامن: ما هو ناتج ضرب كل مما يأتي: أ) (1-5i) في (-9+2i) ب) (1-8i) في (1+8i)؟

الحل:

بتطبيق قاعدة ضرب الأعداد التخيلية ينتج ما يلي:

• أ) -9 – 2i + 45i + 10i² يساوي -9 + 43i + (10 × -1) يساوي 1 + 43i
• ب) 1 – 8i – 8i + 64i² يساوي 1 + 64 ، ويساوي 65.

المثال التاسع: بسّط القيم الآتية إلى أبسط صورة: أ) 5i – 16i ب) i¹⁷ جـ) i¹²⁰؟

الحل:

• أ) يتم تجميع الحدود المتشابهة كما يلي: (16-5)i يساوي 11i.
• ب) i¹⁷ تساوي i¹⁶+¹، ويساوي i^(4×4+1)، ويساوي i.
• جـ) i¹²⁰ تساوي i^4×30+0، ويساوي i⁰، ويساوي 1.

المثال العاشر: ما هو العدد المرافق للأعداد التخيلية الآتية: أ) 2+√5i ب) -½i ؟

الحل:

إن العدد المرافق للعدد التخيلي يمكن الحصول عليه عن طريق إبقاء نفس العدد الحقيقي، وعكس إشارة العدد التخيلي، وبالتالي فإن العدد المرافق للأعداد السابقة يساوي:

• أ) 2-√5i.
• ب) ½i.