استخدامات المعادلات التفاضلية في الهندسة الكهربائية

مقدمة

تعتبر المعادلات التفاضلية ذات المعاملات الثابتة من الدرجة الأولى والثانية أدوات ضرورية لحل المشكلات في مجال الهندسة الكهربائية. يتم تطبيق هذه المعادلات في مجموعة متنوعة من التطبيقات العملية، حيث تساعد في فهم وتحليل الأنظمة والظواهر الكهربائية المعقدة. فيما يلي، سنستعرض بعضًا من أهم هذه التطبيقات.

تطبيقات في حساب الجهد الكهربائي

تلعب المعادلات التفاضلية دورًا حيويًا في تصميم وتحليل الجهد الكهربائي. على سبيل المثال، يمكن استخدام شبكة LCK المتسلسلة كدائرة أساسية لحل معادلة الجهد الكهربائي للدائرة وتحديد القوى المؤثرة بداخلها. من بين هذه القوى، الموجة الجيبية، التي تمثل منحنى موجة مستمرة وتعتبر أساسية في وصف الإشارات الكهربائية المتغيرة.

كما أن المعادلات التفاضلية تستخدم في تفسير خصائص الموجات الكهربائية المختلفة، مثل سعة الموجة، التي تعبر عن أقصى قيمة رأسية أو ذبذبة للموجة، والتردد، الذي يمثل عدد الدورات الكاملة للموجة في وحدة الزمن.

عند دراسة الدوائر الكهربائية التي تحتوي على عناصر متغيرة دوريًا، مثل السعة المتغيرة خطيًا مع الزمن، يمكن استخدام معادلة ماثيو لحل هذه المشكلات. في هذه العملية، يمكن تحويل معادلة ماثيو إلى معادلة هيل، التي يمكن حلها بشكل غير خطي لفهم آلية توليد التوافقيات الفرعية.

أهمية تحويل لابلاس

يعتبر تحويل لابلاس من الأدوات القوية في الهندسة الكهربائية. يسمح هذا التحويل بتحويل المعادلات التي تعتمد على الزمن إلى معادلات مكافئة في مستوى آخر، مما يبسط عملية التحليل والحل. يعتبر تحويل لابلاس تحويلًا متكاملاً يستخدم لحل ومعالجة المعادلات التفاضلية العادية، ويستخدم بشكل واسع في تحليل الدوائر الكهربائية.

يتم التعبير عن تحويل لابلاس لدالة معينة f (s) بالتكامل المحدود من الصفر إلى المالانهاية لدالة الزمن f (t) مضروبًا بالدالة الأسية لحاصل ضرب العدد السالب من s بالزمن كالآتي:

(معادلة تحويل لابلاس هنا)

دور معادلات ماكسويل

تعتبر معادلات ماكسويل مجموعة من المعادلات التفاضلية الجزئية التي تشكل، جنبًا إلى جنب مع معادلات قوة لورنتز، أساس الديناميكا الكهربائية الكلاسيكية. كما أنها أساس هندسة البصريات الكلاسيكية والدوائر الكهربائية. هذه المجالات تمثل بدورها أساس التقنيات الكهربائية والاتصالات الحديثة.

تصف معادلات ماكسويل كيفية توليد المجالات الكهربائية والمغناطيسية وتغييرها بواسطة الشحنات والتيارات. سميت هذه المعادلات على اسم عالم الفيزياء والرياضيات الاسكتلندي جيمس كليرك ماكسويل، الذي نشر الصيغة الأولى منها بين عامي 1861 و1862.

تصميم أجهزة التبريد

تستخدم المعادلات التفاضلية في تطبيق قانون نيوتن للتبريد، والذي يمكن تمثيله بالمعادلة التالية:

dθ/dt=−k(θ−θs)

حيث:

θ=θ0 at t=0

بفصل المتغيرات وإجراء التكامل، يمكن الحصول على:

ln(θ−θs)=−kt+C

من خلال هذه العلاقة، يمكن تحديد كيفية انخفاض درجة حرارة الجسم الكهربائي إلى درجة حرارة البيئة المحيطة، وهو ما يستفاد منه في تصميم أجهزة التبريد المختلفة.

المراجع

1. أبت”Some applications of differential equations in modern electrical circuit problems†”,tandfonline, Retrieved 1/12/2022. Edited.
2. أب”Laplace Transform”,Wolfram MathWorld, Retrieved 1/12/2022. Edited.
3. أبB Sumithra,Engineering Applications of Differential equations, Page 2. Edited.
4. “1 Modelling with first-order equations”,bathmash.github, Retrieved 1/12/2022. Edited.